정현파

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파형
정현파	구형파	삼각파	톱니파

1. 개요2. 주기 및 형태

2.1. 극대점과 극소점2.2. 정현파와 x축 사이의 넓이2.3. 정현파의 길이

3. 곡률

3.1. 접촉원

4. 쓰임

4.1. 푸리에 변환4.2. 시뉴소이드 도법

5. 극좌표에서의 정현파

5.1. n장 꽃잎 장미꼴5.2. r=sin(aθ/b)( a⊥b) 꼴5.3. r=k(sinθ+1) 꼴5.4. 기타

6. 위상수학자의 사인곡선7. 기타8. 관련 문서

1. 개요

正弦曲線, 正弦波 / sine curve, sinusoid(al wave)

사인함수의 기하학적 그래프. 정현파는 좌표평면 위에서 주기적인 모양을 갖는 개곡선이다. 전자기학과 현대물리학에서는 보편적으로 쓰이는 용어이다.

정현( 正弦)은 활시위 혹은 현을 뜻하는 산스크리트어 ज्या(jyā; 지야) 또는 जीव (jīva; 지바)[1]를 한자어로 옮긴 표현이다. 영문 표현인 sine은 라틴어 sinus(굴곡, 공동_空洞, 가슴 등)에서 유래한 말로, sinus는 산스크리트어 단어가 아랍어 جيب(jyb)를 통해 유럽 쪽에 전래되는 과정에서 오역되는 바람에[2] 생겨난 단어다.

2. 주기 및 형태

정현파의 개형

파일:external/upload.wikimedia.org/Sin_drawing_process.gif

정현파를 그리는 모습

기본적인 형태인 [math(y = \sin x)]의 그래프는 [math(2\pi)]를 주기로 하여 함숫값이 [math(-1\le y\le1)]의 범위에서 변화하며 같은 모양이 반복되는 형태이며, [math(0\le x\le\pi)]의 범위에서는 위로 볼록한 모양, [math(\pi\le x\le2\pi)]의 범위에서는 아래로 볼록한 모양이다. 또한 [math(y=0)]이 되는 [math(x=n\pi)] 지점에서 기울기의 절댓값이 최대이며, [math(n)]이 정수일 때 [math(x=2n\pi)]일 때는 증가 폭이 가장 크고 [math(x=(2n+1)\pi)]일 때는 감소 폭이 가장 크다. 원점에서 출발하여 "증가 폭이 감소하면서 증가([math(y:0\to1)]) → 감소 폭이 증가하면서 감소([math(y:1\to0)]) → 감소 폭이 감소하면서 감소([math(y:0\to-1)]) → 증가 폭이 증가하면서 증가([math(y:-1\to0)])"의 과정이 반복된다.

하지만 [math(\sin x)]의 계수 또는 [math(x)]의 계수를 [math(1)]이 아닌 다른 값으로 하면 모양이 달라진다. 사인함수의 식이 [math(y = a\sin bx+c)]로 주어지는 경우, [math(\cfrac{2\pi}{|b|})]를 주기로 하여 함숫값이 [math(c-|a|\le y\le c+|a|)]의 범위에서 변화한다. 정현파 형태를 파동의 모양과 비교하자면, 이 식에서 [math(b)]가 커질수록 파장은 짧아지고 [math(a)]가 커질수록 진폭이 큰 형태가 되는 셈이다.

주기: [math(y = \sin x)]에서 [math(x)]가 [math(0)]에서 [math(2\pi)]까지 변화하는 것이 한 주기에 해당하므로, 여기에 [math(x)] 대신 [math(bx)]를 넣으면 [math(y = \sin bx)]에서 [math(bx)]의 값이 [math(0)]에서 [math(2\pi)]까지 변화하는 것이 한 주기에 해당한다. 따라서 [math(x)]의 값이 [math(0)]에서 [math(\cfrac{2\pi}b)]까지 변화하는 것이 한 주기가 된다. 또한 [math(y = \cos x)]를 [math(\cfrac\pi2)]만큼 오른쪽으로 옮긴 것과 같다.
최솟값과 최댓값: [math(a\sin bx)]의 값이 [math(|a|)]일 때 함숫값이 최대가 되고, [math(-|a|)]일 때 최소가 된다. 따라서 [math(y = a\sin bx+c)]의 최솟값은 [math(c-|a|)], 최댓값은 [math(c+|a|)]이다.

코사인 함수를 나타낸 곡선 역시 정현파와 형태가 같고, 이는 직교 좌표계와 극좌표계에서 모두 해당한다. 하지만 코사인 곡선보다는 정현파라고 많이 부른다.[3]

2.1. 극대점과 극소점

정현파는 원점 대칭이기 때문에 원점을 기준으로 극대점과 이에 대응하는 극소점은 서로 반대 위치에 있다.

극대점을 찾기 위해서는 원점에서 양의 방향으로 진행하여 [math(y)]값이 최대가 되는 지점을 찾아야 하는데, 사인함수의 식이 [math(y = a\sin bx ~ (a>0))][주의]라면 [math(bx=\cfrac\pi2)]가 되는 지점, 즉 [math(x=\cfrac\pi{2b})]인 지점에 해당한다. 해당 지점의 [math(y)]값을 구하면 [math(y=a)]가 되므로, 원점에서 가장 가까운 극대점의 좌표는 [math(\biggl(\cfrac\pi{2b},\,a\biggr))]가 된다. 또한 사인함수의 주기가 [math(\cfrac{2\pi}{|b|})]이므로 극대점의 좌표의 일반식은 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}{2b}\pi,\,a\biggr))]가 된다. 따라서 극소점의 좌표의 일반식은 [math(\biggl(-\cfrac{4n+1}{2b}\pi,\,-a\biggr))]가 된다. 이때 [math(n)]은 정수이므로 [math(\biggl(\cfrac{4n-1}{2b}\pi,\,-a\biggr))]라고 표현할 수도 있다.

예를 들어 [math(y=2\sin7x)]의 경우 극대점의 좌표의 일반식은 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}{14}\pi,\,2\biggr))], 극소점의 좌표의 일반식은 [math(\biggl(\cfrac{4n-1}{14}\pi,\,-2\biggr))]라고 할 수 있다. 원점에 가장 가까운 것부터 나열하면 극대점은 [math(\biggl(\cfrac\pi{14},\,2\biggr))], [math(\biggl(-\cfrac{3\pi}{14},\,2\biggr))], [math(\biggl(\cfrac{5\pi}{14},\,2\biggr))], [math(\cdots)]이고 극소점은 [math(\biggl(-\cfrac\pi{14},\,-2\biggr))], [math(\biggl(\cfrac{3\pi}{14},\,-2\biggr))], [math(\biggl(-\cfrac{5\pi}{14},\,-2\biggr))], [math(\cdots)]이다.

2.2. 정현파와 x축 사이의 넓이

사인함수의 식이 [math(y=a\sin bx)] [math((a>0))]인 경우 정현파와 [math(x)]축의 교점 중에는 원점과 [math(\biggl(\cfrac\pi b,\,0\biggr))]이 있다. 따라서 [math(0)]부터 [math(\cfrac\pi b)]까지 사인함수를 적분하여 다음과 같이 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}\int_0^{\frac\pi b} a\sin bx{\rm\,d}x &= {\left[ \frac{-a\cos bx}b \right]}_0^{\frac\pi b} \\ &= \frac ab+\frac ab \\ &= \frac{2a}b \end{aligned})]

위 식을 이용하면 [math(y=\sin x)]와 [math(x)]축 사이 넓이는 구간 [math([0,\,\pi])]에서 [math(2)]이다. [math(a)]가 클수록 정현파의 폭이 커지기 때문에 넓어지고, [math(b)]가 클수록 정현파의 주기가 짧아지기 때문에 좁아진다고 생각하면 된다.

2.3. 정현파의 길이

사인함수 [math(y=a\sin bx ~ (a\ne0))]는 주기가 [math(\cfrac{2\pi}{|b|})]인 주기함수이며 원점에서부터 [math(\cfrac14)] 주기마다 선대칭 및 점대칭 점이 나타나므로 대칭 이동 및 평행 이동으로 다른 구간과 동형인 모양을 만들 수 있다. 원점부터 [math(\cfrac14)] 주기까지의 길이는 다음 공식을 이용하면 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned} L &= \int_0^{\frac\pi{2b}} \sqrt{{\rm d}x^2 + {\rm d}y^2} \\ &= \int_0^{\frac\pi{2b}} \sqrt{1+{\left(\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\right)}^2}{\rm\,d}x\end{aligned})]

이때 [math(y=a\sin bx)]에서 [math(\cfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x} = ab\cos bx)]이고 이것을 대입하면

[math(\begin{aligned} L &= \int_0^{\frac\pi{2b}} \sqrt{1+(ab\cos bx)^2}{\rm\,d}x \\ &= \int_0^{\frac\pi{2b}} \sqrt{1+a^2b^2 -a^2b^2\sin^2bx}{\rm\,d}x \quad (bx = \theta) \\ &= \frac1b\int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1+a^2b^2-a^2b^2\sin^2\theta}{\rm\,d}\theta \\ &= \frac{\sqrt{a^2b^2+1}}b\int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1-\frac{a^2b^2}{a^2b^2+1}\sin^2\theta}{\rm\,d}\theta \\ &= \frac{\sqrt{a^2b^2+1}}b E{\left(\frac{|ab|}{\sqrt{a^2b^2+1}}\right)} \end{aligned})]

마지막 식에 있는 [math(\displaystyle E(k) = \int_0^{\frac\pi2} \sqrt{1 - k^2\sin^2\theta}{\rm\,d}\theta)]는 제2종 완전 타원적분으로, 타원의 [math(\cfrac14)] 주기 둘레를 구하기 위해 사용하는 특수함수다. 따라서 정현파의 길이는 초등함수로 나타낼 수 없다. 타원 [math(\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1 ~(a>b>0))]의 둘레는 이심률 [math(e = \sqrt{1-\cfrac{b^2}{a^2}})]에 대한 타원 적분값 [math(4aE(e))]로 주어지는데, 위 식에서 [math(\cfrac{|ab|}{\sqrt{a^2b^2+1}} = \sqrt{1-\cfrac1{a^2b^2+1}})]이므로 정현파의 길이는 타원 [math(\cfrac{x^2}{a^2b^2+1} + y^2 = 1)]의 둘레의 길이에 비례한다는 것을 알 수 있다.

반 주기[math(\biggl(0\le x\le\cfrac\pi b\biggr))] 구간에서의 길이를 구하고 싶다면 위 값을 2배, 한 주기[math(\biggl(0\le x\le\cfrac{2\pi}b\biggr))] 구간이라면 4배 하면 된다.

3. 곡률

곡률 [math(\kappa)]는 2차원 평면에서 어떤 함수 [math(f(x(t),\,y(t)))]의 곡률 벡터 [math(\cfrac{\rm d}{{\rm d}t}{\bf T}(f))]의 크기 [math(\kappa(f) = \biggl\|\cfrac{\rm d}{{\rm d}t}{\bf T}(f)\biggr\|)]로 정의되며, 일반적으로 다음과 같이 주어지는데

[math(\begin{aligned} \kappa(f) &= \frac{\|{\bf a\bm\times v}\|}{\|{\bf v}\|^3} \\ &= \frac{|x(t)y'(t)-x'(t)y(t)|}{\sqrt{\{x'(t)\}^2+\{y'(t)\}^2}^3} \end{aligned})]

사인함수의 경우 [math(f = (t,\,a\sin bt + c))]이며 [math(\begin{cases} x'(t) = 1 \\ y'(t) = ab\cos bt\end{cases})], [math(\begin{cases} x(t) = 0 \\ y(t) = -ab^2\sin bt\end{cases})]이므로 대입하면

[math(\begin{aligned} \kappa &= \dfrac{|ab^2\sin bt|}{\sqrt{1+a^2b^2\cos^2bt}^3} \\ &= \dfrac{b^2|a\sin bt|}{\sqrt{1+a^2b^2 - a^2b^2\sin^2bt}^3} \pod{|a\sin bt| = S} \\ &= \dfrac{b^2S}{\sqrt{1+a^2b^2 - b^2S^2}^3}\end{aligned})]

[math(S = |a\sin bt|)]이므로 [math(0\le S\le|a|)]이고 곡률 벡터 크기의 미분은

[math(\begin{aligned} \frac{\rm d\kappa}{{\rm d}S} &= \dfrac{b^2}{\sqrt{1+a^2b^2 - b^2S^2}^3} - b^2S{\cdot}\frac32\frac{-2{b^2}S}{\sqrt{1+a^2b^2 - b^2S^2}^5} \\ &= \dfrac{b^2(1+a^2b^2 + 2b^2S^2)}{\sqrt{1+a^2b^2 - b^2S^2}^5}\end{aligned})]

으로 주어진다. 위 식은 [math(S = 0 \Leftrightarrow \sin bt = 0)]일 때 분모가 최대, 분자가 최소가 되어 미분값이 최소가 되므로 [math(\sin bt = 0)]일 때 극소 곡률값 [math(\kappa = 0)]을 가지며 [math(S = |a| \Leftrightarrow \sin bt = \pm1)]일 때 분모가 최소, 분자가 최대가 되어 미분값이 최대가 되므로 [math(\sin bt = \pm1)]일 때 극대 곡률값 [math(\kappa = |a|b^2)]을 갖는다. 바꿔 말하자면 사인함수는 극솟값 및 극댓값에서 극대 곡률을 가지며, 사인함수가 0이 되는 지점에서 극소 곡률을 갖는다. 예를 들어 [math(y=3\sin 4x+5)]의 극소점 또는 극대점에서의 곡률은 [math(3\times4^2 = 48)]이다.

위 식을 통해서도 알 수 있지만, 가장 기본적인 형태인 [math(y=\sin x)]의 경우 [math(a=b=1)]이기 때문에 극댓값 및 극솟값에서의 곡률은 1이다.

3.1. 접촉원

상기 곡률을 이용해서 접촉원의 중심 [math((x_0,\,y_0))]의 자취를 구할 수 있다. 정현파의 식을 [math(y = a\sin bx + c)]라고 하자.

우선 접촉원이므로 정현파에 접하는 접선의 방정식을 고려해볼 수 있다. 정현파 위의 점 [math((x_1,\,y_1))]에 대하여 접선 [math(l_t)]는 다음과 같이 주어지고

[math(l_t: y = (ab\cos bx_1)(x - x_1) + y_1)]

[math((x_0,\,y_0))]과 직선 [math(l_t)]와의 거리가 접촉원의 반지름 [math(r)]이므로

[math(r = \dfrac{|(ab\cos bx_1)(x_0 - x_1) + (y_1 - y_0)|}{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2 + 1}})]

한편, 이 직선의 법선 [math(l_n)]이 [math((x_0,\,y_0))], [math((x_1,\,y_1))]을 모두 지나므로 법선을 구해보면, 우선 기울기가 [math(-\cfrac1{ab\cos bx_1})]이며

[math(l_n: y = -\dfrac1{ab\cos bx_1}(x - x_1) + y_1)]

위 직선이 점 [math((x_0,\,y_0))]을 지나므로 대입하면 [math(y_1 - y_0)]값을 구할 수 있다.

[math(y_1 - y_0 = \dfrac1{ab\cos bx_1}(x_0 - x_1))]

위 값을 [math(r)]의 식에 대입하면

[math(\begin{aligned} r &= \frac{\left|(ab\cos bx_1)(x_0 - x_1) + \dfrac1{ab\cos bx_1}(x_0 - x_1)\right|}{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2+1}} \\ &= \frac{\left|(x_0 - x_1)\dfrac{(ab\cos bx_1)^2+1}{ab\cos bx_1}\right|}{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2+1}} \\ &= |x_0 - x_1|\frac{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2+1}}{|ab\cos bx_1|}\end{aligned})]

그런데 곡선 문서에 나와있듯 접촉원의 반지름은 곡률의 역수 [math(r = \cfrac1\kappa)]이므로

[math(\begin{aligned} r &= \frac1\kappa \\ &= \frac{\sqrt{(ab\cos bx_1)^2 + 1}}{|ab^2\sin bx_1|}\end{aligned})]

따라서 [math(|x_0 - x_1|)]는 다음과 같이 구할 수 있고, 이로부터 [math(x_0)]을 [math(x_1)]으로 나타낼 수 있다.

[math(\begin{aligned} |x_0 - x_1| &= \frac{|ab\cos bx_1|}{|ab^2\sin bx_1|} \\ &= {\left|\frac{\cot bx_1}b\right|} \\ \therefore x_0 &= x_1 \pm\frac{\cot bx_1}b \end{aligned})]

정현파의 오목한 곳에 [math(x_0)]의 좌표가 존재해야하므로 [math(a>0)], [math(b>0)] 및 원점으로부터 [math(\cfrac14)]주기 구간을 상정하면 [math(x_0 - x_1\ge0)]이어야 하므로 코탄젠트 항의 부호는 [math((+))]여야 한다.

[math(x_0 = x_1 + \dfrac{\cot bx_1}b)]

[math(y_0)]의 식은 [math(x_0)]을 [math(l_n)]에 대입하면

[math(\begin{aligned} y_0 &= -\frac1{ab\cos bx_1}(x_0 - x_1) + y_1 \\ &= -\frac1{ab\cos bx_1}\frac{\cot bx_1}b + a\sin bx_1+c \\ &= a\sin bx_1 + c -\frac1{ab^2\sin bx_1} \end{aligned})]

이상에서 접촉원의 중심의 자취는 일반적인 [math(y = f(x))]꼴로 나타낼 수 없으며 매개변수 방정식으로밖에 나타낼 수 없다.

[math((x_0(t),\,y_0(t)) = {\left(t + \dfrac{\cot bt}b,\,a\sin bt + c -\dfrac1{ab^2\sin bt}\right)})]

자취의 그래프를 보면 직선 [math(y = -\cfrac1{ab}\biggl(x - \cfrac{2n}b\pi\biggr) + c)], [math(y = \cfrac1{ab}\biggl(x - \cfrac{2n+1}b\pi\biggr) + c)]가 점근선으로 나타나는 것을 알 수 있는데 [math(\sin bt = 0)]이 되는 지점 부근에서 원의 중심이 점근선을 따라 [math(\pm\infty)]로 발산함을 보여준다. 실제로 접촉원의 움직임을 보면 정현파의 변곡점 부근에서 원의 위치가 위아래로 변하면서 작아졌다 커지는 모습을 볼 수 있다.

위 식으로부터 극대점과 극소점에서 접촉원의 중심 좌표를 짐작할 수 있는데 [math(\sin bt = \pm1)], 즉 [math(\cos bt = 0)]이 되는 지점이므로 극대점에서는 중심이 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}{2b}\pi,\,a+c-\cfrac1{ab^2}\biggr))]이 되고, 극소점에서는 중심이 [math(\biggl(\cfrac{4n-1}{2b}\pi,\,a+c+\cfrac1{ab^2}\biggr))]이 된다. 예를 들어 [math(y=2\sin 3x)]의 경우, 극대점 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}6\pi,\,2\biggr))]에서 접하는 접촉원의 반지름은 [math(\cfrac1{18})], 중심의 좌표는 [math(\biggl(\cfrac{4n+1}6\pi,\,\cfrac{35}{18}\biggr))]가 된다.

4. 쓰임

수학 이외의 분야에서도 소리나 빛의 파동, 교류전류의 전류, 전압 같은 주기적 현상을 설명하는데 유용하게 쓰인다. 파동을 사인함수 [math(y=A\sin\underline\omega t+c)]꼴(단, [math(\underline\omega = \omega/{\rm rad})])로 나타낼 때 [math(A)]는 진폭, [math(\omega)]는 주파수에 비례하고[5] 주기에 반비례한다.[6] 정현파 형태의 운동을 정현파 운동(sinusoidal motion)이라고 한다.

바이오리듬을 나타내는 곡선도 정현파다.

지리학에서는 세계지도를 그리는 도법에 활용된다. 대표적으로 시뉴소이드 도법과 에케르트 도법(Eckert’s projection)이 있는데, 에케르트 도법은 총 6종류로, 이들 중 2종류가 정현파를 활용한다.

3D 그래픽에서 구면좌표계에서 3차원 직교좌표계로 상호 변환할 때도 쓰인다.

4.1. 푸리에 변환

연속하고 부드러운 주기함수(continuous smooth periodic function)는 여러 주파수의 정현파의 합으로 나타낼 수 있다. 이를 이용해 해당 주기함수를 [math(g:x\to y)]라고 둘 때, 해당 함수를 [math(G:\omega \to C)]로 변환할 수 있다. 이때, [math(\omega)]는 각속도로 주파수 [math(f)]로 나타내면 [math(\omega = 2\pi f{\rm\,rad})]이며, [math(C)]는 복소수다. [math(G)]의 어떤 입력값 [math(\omega)]에 대해 출력값 [math(C)]의 절댓값(magnitude) [math(|C|)]는 해당 주파수를 갖는 정현파의 진폭 [math(A)]를 의미하고 [math(C)]의 위상(phase)은 해당 사인함수의 위상차(phase difference)를 의미한다. 이를 이용해 주어진 주기함수를 푸리에 변환을 통해 복소함수로 나타내면, 특정 주파수의 정현파의 진폭을 바로 얻을 수 있으며, 이는 다양한 연구 분야에 활용된다. 특히 빛은 전자기파이므로, 한꺼번에 여러 주파수의 전자기파를 분석할 때 필수적인 기술이다. 자세한 것은 푸리에 변환 참조.

비슷한 것으로 푸리에 급수가 있다. 푸리에 변환은 무한히 많은 함수의 적분 형태로 나타나는 반면 푸리에 급수는 무한급수 형태로 나타난다.

4.2. 시뉴소이드 도법

sinusoidal projection, -圖法

세계지도를 그릴 때 경선을 정현파 형태로 그리는 방법이다.
(적도에서의 위선 길이) : (직선의 중앙 경선 길이) = 2 : 1이고, 지도의 왼쪽 반과 오른쪽 반을 서로 대칭인 정현파로 둘러싸는 형태이다. 이 방법으로 그린 세계지도의 정중앙을 원점으로 하고 오른쪽 끝을 (2, 0), 북극을 (0, 1)로 한다면 [math(x = \pm2\cos\biggl(\cfrac{\pi y}2\biggr) ~ (|y|\le1))]의 그래프 형태의 정현파가 그려지는데, 이를 사인 함수로 나타내면 [math(x = \pm2\sin\biggl(\cfrac{1-y}2\pi\biggr) ~ (|y|\le1))]이다.

정현파는 최대값 주변에서는 변화폭이 작지만 그 주변으로 갈수록 변화의 폭이 급격히 늘어나므로, 고위도 지역의 경우 매우 심하게 왜곡되는 반면 저위도 지역은 왜곡이 훨씬 덜 되기 때문에 저위도 지역 중심으로 표현하는 데 많이 쓰이고 있다. 또한 가장자리 부분의 경선이나 중앙 경선이 아닌 다른 경선들도 가장자리 부분의 경선처럼 비례를 맞춰야 하기 때문에 정현파 형태로 표현되는데, 중앙 경선의 경도를 [math(0\degree)]라 할 때 동경이나 서경에 상관없이 경도를 [math(0\degree)]에서 [math(180\degree)] 사이의 값으로 표현한다면 경도 [math(k)]에서는 [math(x = \pm\cfrac k{180\degree}\times 2\sin\biggl(\cfrac{1-y}2\pi\biggr) ~ (|y|\le1))] 형태의 정현파가 된다. 이때 [math(k)]의 값이 커질수록 정현파가 가파르기 때문에 경도가 클수록, 즉 중앙 경선에서 많이 떨어져 있을수록 많이 왜곡된다. 게다가 지도의 형태상 쓸모없는 여백이 많아진다는 것도 단점.

참고로 이 도법을 이용하면 지구가 완전히 구라고 가정할 때, 위도에 관계없이 해당 지역의 위선의 길이를 정확한 비율로 맞출 수 있고, 따라서 넓이의 비율에 맞게 그릴 수 있다. 위도가 [math(\theta)]인 지역을 나타내는 위선에 해당하는 원의 반지름을 [math(r)], 지구의 반지름을 [math(R)]라 하면 [math(r=R\cos\underline\theta)] (단, [math(\underline\theta = \theta/{\rm rad})])인데, 시뉴소이드 도법에서는 위도가 [math(0{\rm\,rad})]인 지역을 나타내는 위선의 길이를 [math(R)]라 하면 위도가 [math(\theta)]인 지역을 나타내는 위선의 길이는 [math(R\cos\underline\theta)]가 되기 때문이다.

5. 극좌표에서의 정현파

직교 좌표가 아닌 극좌표에서도 정현파를 그릴 수 있는데, [math(r=\sin n\underline\theta ~(n\ge2))]꼴의 경우 꽃 모양이 되기 때문에 이것을 장미곡선[7]이라 부르기도 한다. 극좌표에서는 반지름 [math(r)]을 해당 '방향'이 [math(x)]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 [math(\theta)]에 대한 함수로 보기 때문에 좌표평면에서와는 확연히 다른 모양의 곡선으로 나타난다. 또한 좌표평면에서의 사인함수 [math(y = a\sin bx+c)]에서의 상수 [math(c)]와 달리 극좌표에서의 사인함수 [math(r=\sin\underline\theta+k)]에서의 상수 [math(k)]는 곡선의 모양을 변화시킨다. 또한 함수식을 [math(r=a(\sin\underline\theta+k))] ([math(a)], [math(k)]는 상수)라 하면 [math(a)]는 모양에는 영향을 주지 않고 크기에만 영향을 주며, 반지름 [math(r)]은 [math(a)]에 비례하여 커진다.

이하 내용에서 [math(underlinetheta = theta/{rm rad})]이다.

5.1. n장 꽃잎 장미꼴

[math(n)]-leaved rose[8]
[math(r = \sin(n\underline\theta))] (단, [math(n)]은 자연수)꼴로 표기되며 다음과 같은 특성이 있다.

[math(r = \sin\underline\theta)]꼴의 곡선은 원 모양에 해당한다. 평면좌표에서의 [math(x)], [math(y)]좌표와 극좌표에서의 [math(r)], [math(\theta)]의 관계는 [math(x = r\cos\underline\theta)], [math(y = r\sin\underline\theta)]인데, [math(r = \sin\underline\theta)]의 양변에 [math(r)]을 곱하면 [math(r^2 = r\sin\underline\theta)]가 되고, [math(x^2 + y^2 = r^2)]이므로 이 식은 [math(x^2 + y^2 = y)]로 변형되며, 다시 정리하면 [math(x^2 + \biggl(y-\cfrac12\biggr)^2 = \cfrac14)], 즉 중심이 [math(\biggr(0,\,\cfrac12\biggr))]이고 반지름이 [math(\cfrac12)]인 원임을 알 수 있다.
[math(r = \sin(2n\underline\theta))]꼴의 곡선은 [math(x)]축과 [math(y)]축, 원점 대칭이며 잎이 [math(2n)]개인 꽃 모양이 되는데, [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]의 구간을 [math(2n)]등분한 각 구간의 중심부가 꽃잎의 가장 바깥쪽에 해당하고 각 구간의 경계 부분이 꽃잎의 가장 안쪽에 해당한다. 예를 들어 [math(r = \sin6\underline\theta)]의 경우 잎이 12개인 꽃 모양이 되고, [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]의 구간을 12등분한 각 구간[math(\biggl(0\le\underline\theta\le\cfrac\pi6)], [math(\cfrac\pi6\le\underline\theta\le\cfrac\pi3)], [math(\cdots\biggr))]의 중심부에 해당하는 [math(\underline\theta = \cfrac\pi{12})], [math(\cfrac\pi4)], [math(\cdots)] 등이 꽃잎의 가장 바깥쪽이고, 경계 부분에 해당하는 [math(\underline\theta = 0)], [math(\cfrac\pi6)], [math(\cdots)] 등이 가장 안쪽에 해당한다.

예를 들어 [math(r = \sin2\underline\theta)]의 경우 [math(\underline\theta)]에 따라 점을 찍어서 곡선의 모양을 추정해 보면 다음과 같다. [math(0\le\underline\theta\le\cfrac\pi2)]에서는 [math(\sin2\underline\theta = r\ge0)]이기 때문에 제1사분면에 하나의 잎이 그려지고, [math(\cfrac\pi2\le\underline\theta\le\pi)]에서는 [math(r<0)]이기 때문에 제2사분면의 반대 방향에 있는 제4분면에 잎이 하나 그려진다. 같은 방법으로 계속해 나가면 제3사분면, 제2사분면 순서로 잎이 하나씩 그려진다는 것을 알 수 있다.

[math(\underline\theta)] [math(r=\sin2\underline\theta)] 점의 좌표 [math((r,\,\underline\theta))] 잎이 그려지는 위치

[math(0)] [math(0)] [math((0,\,0))]

[math(\dfrac\pi8)] [math(\dfrac{\sqrt2}2)] [math({\left(\dfrac{\sqrt2}2,\,\dfrac\pi8\right)})] 제1사분면

[math(\dfrac\pi4)] [math(1)] [math({\left(1,\,\dfrac\pi4\right)})]

[math(\dfrac{3\pi}8)] [math(\dfrac{\sqrt2}2)] [math({\left(\dfrac{\sqrt2}2,\,\dfrac{3\pi}8\right)})]

[math(\dfrac\pi2)] [math(0)] [math({\left(0,\,\dfrac\pi2\right)})]

[math(\dfrac{5\pi}8)] [math(-\dfrac{\sqrt2}2)] [math({\left(-\dfrac{\sqrt2}2,\,\dfrac{5\pi}8\right)})] 제4사분면

[math(\dfrac{3\pi}4)] [math(-1)] [math({\left(-1,\,\dfrac{3\pi}4\right)})]

[math(\dfrac{7\pi}8)] [math(-\dfrac{\sqrt2}2)] [math({\left(-\dfrac{\sqrt2}2,\,\dfrac{7\pi}8\right)})]

[math(\pi)] [math(0)] [math((0,\,\pi))]

[math(r=\sin\{(2n+1)\underline\theta\})]꼴의 곡선은 잎이 [math(n)]개인 꽃 모양이 되는데, [math(y)]축 대칭인 형태이다. [math(r=\sin\{(4n+1)\underline\theta\})]꼴의 경우 [math(\theta = \cfrac\pi2)]가, [math(r=\sin\{(4n+3)\underline\theta\})]꼴의 경우 [math(\theta = \cfrac{3\pi}2)]가 한 꽃잎의 가장 바깥쪽에 해당한다. 실제로 각각의 식에 [math(\underline\theta = \cfrac\pi2)], [math(\cfrac{3\pi}2)]를 대입하면 [math(r)]이 최댓값인 [math(r=1)]이 됨을 알 수 있다.

예를 들어 [math(r=\sin3\underline\theta)]의 경우, [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]의 구간 중 [math(0\le\underline\theta\le\cfrac\pi3)], [math(\cfrac{2\pi}3\le\underline\theta\le\pi)], [math(\cfrac{4\pi}3\le\underline\theta\le\cfrac{5\pi}3)]에서는 [math(r>0)]아고, 나머지 구간에서는 [math(r<0)]이다. 따라서 제1사분면 → 제2사분면 → ...의 순서로 그려지지 않고 도중에 제3사분면과 제4사분면을 지나는 잎 모양[9]을 그린 후 제2사분면에 포함되는 잎 모양을 그리게 된다. [math(\underline\theta)]값에 따라 실제로 그려 보면 [math(0\le\underline\theta\le\pi)]까지의 부분이 [math(\pi\le\underline\theta\le2\pi)] 부분에서 반복해서 나타난다.

5.2. r=sin(aθ/b)( a⊥b) 꼴

이 경우에는 잎이 서로 겹치는 복잡한 모양이 그려지며, 잎의 개수는 [math(2a)]개이고 [math(b)]가 클수록 원 모양에 가까워지는 형태이다. 그래프를 [math(\underline\theta)]의 변화를 기준으로 보면 같은 모양이 잎의 개수만큼 반복되는 모습을 볼 수 있다. 이들 중 간단한 편에 속하는 [math(r = \sin\cfrac{3\underline\theta}2)]의 그래프도 잎이 6개이며 잎이 최대 2개 겹치는 복잡한 형태로, [math(\underline\theta)]의 변화에 따라 점을 찍어서 그래프의 모양을 추측해 보면 전체적으로는 시계 반대 방향으로 이동하지만 제1사분면 → 제2사분면 → 제4사분면 → 제1사분면으로 이동하는 등 상당히 복잡하게 이동함을 알 수 있다. 이러한 꼴의 경우 [math(\underline\theta=0)]일 때와 [math(\underline\theta=2\pi)]일 때의 [math(r)]의 값이 서로 다르고, 극좌표에서 점 [math((r,\,\underline\theta))]의 위치는 [math(r)]과 [math(\underline\theta)]값 모두에 의해 변화하기 때문에 [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]의 구간을 그려도 곡선이 완전히 그려지지 않는 경우가 많은데, 예를 들어 [math(r = \sin\cfrac{5\underline\theta}3)]의 경우에는 [math(0\le\underline\theta\le3\pi)]의 구간에 대하여 그래프를 그려야 완전히 그려진다. [math(b)]가 홀수일 때는 [math(0\le\underline\theta\le b\pi)], 짝수일 때는 [math(0\le\underline\theta\le2b\pi)]의 구간을 그려야 한다.

[math(r = \sin\cfrac{\underline\theta}n ~(n\ge2))]의 곡선은 자연수 [math(n)]이 커질수록 복잡한 모양이 되는데, [math(n)]이 짝수일 때는 [math(x)]축과 [math(y)]축 대칭이 되며, 홀수일 때는 [math(y)]축 대칭만 된다. [math(n\ge4)]라면 홀수인지 짝수인지에 상관없이 [math(r = \sin\cfrac{\underline\theta}n)]의 곡선의 안쪽에는 [math(r = \sin\cfrac{\underline\theta}{n-2})]의 곡선과 비슷한 모양이 있고 바깥쪽을 원과 비슷한 모양이 둘러싸고 있는 듯한 형태가 되는데, [math(n)]이 짝수이면 원점에서 2개의 폐곡선이 접하는 듯한 모양이며 홀수이면 하트에 가까운 모양이다. 또한 [math(\cfrac{\underline\theta}n)]이 [math(0)]부터 [math(2\pi)]까지 변화하는 것이 한 주기이므로 곡선을 다 그리려면 [math(0\le\underline\theta\le2n\pi)]까지 그려야 한다.

참고로 [math(r = \sin\cfrac{\underline\theta}2)]의 그래프의 모양을 [math(\underline\theta)]에 따라 점을 찍어 분석하자면 다음과 같다.

[math(\underline\theta = 0)]일 때 [math(r = 0)]으로 원점을 지나며, 이후 [math(\underline\theta)]가 커짐에 따라 제1사분면에 그려진다.
[math(\underline\theta = \cfrac\pi2)]일 때 [math(r = \sin\cfrac\pi4)]이므로 직교 좌표계상의 [math(\biggl(0,\,\cfrac{\sqrt2}2\biggr))]에 점이 찍힌다. 그 이후 제2사분면에 그려진다.
[math(\underline\theta = \pi)]일 때 [math(r = 1)]이므로 직교 좌표계상의 [math((-1,\,0))]에 점이 찍힌다. 그 이후 제3사분면, 제4사분면으로 이동하며 [math(\underline\theta = 2\pi)]일 때 다시 원점에 온다. [math(0 < \underline\theta < 2\pi)]일 때 [math(r)]의 값이 양수가 되므로 사분면 순서대로 이동하는 것이다. 그 이후 [math(2\pi\le\underline\theta\le4\pi)] 구간에서는 [math(0\le\underline\theta\le2\pi)]일 때의 모양과 좌우 대칭되는 모양을 그리게 된다.

5.3. r=k(sinθ+1) 꼴

[math(y)]축 대칭 형태로, 직교 평면좌표 기준으로 원점과 [math((\pm k,\,0))], [math((0,\,2k))]의 점을 지난다. 실제로 점을 찍어 보면 하트 모양을 뒤집은 것과 비슷한 모양이 나온다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 [math(k = 1)]일 때 [math(r = \sin\underline\theta + 1)]의 그래프의 형태를 점을 찍어 추측해 보면 대략 다음과 같다.

[math(\underline\theta)]	[math(r = \sin\underline\theta + 1)]	점의 좌표 [math((r,\,\underline\theta))]	그려지는 위치 또는 점의 좌표 [math((x,\,y))]
[math(0)]	[math(1)]	[math((1,\,0))]	[math((1,\,0))]
[math(\cfrac\pi6)]	[math(\cfrac32)]	[math(\biggl(\cfrac32,\,\cfrac\pi6\biggr))]	제1사분면
[math(\cfrac\pi3)]	[math(1+\cfrac{\sqrt3}2)]	[math(\biggl(1+\cfrac{\sqrt3}2,\,\cfrac\pi3\biggr))]	제1사분면
[math(\cfrac\pi2)]	[math(2)]	[math(\biggl(2,\,\cfrac\pi2\biggr))]	[math((0,\,2))]
[math(\cfrac{2\pi}3)]	[math(1+\cfrac{\sqrt3}2)]	[math(\biggl(1+\cfrac{\sqrt3}2,\,\cfrac{2\pi}3\biggr))]	제2사분면
[math(\cfrac{5\pi}6)]	[math(\cfrac32)]	[math(\biggl(\cfrac32,\,\cfrac{5\pi}6\biggr))]	제2사분면
[math(\pi)]	[math(1)]	[math((1,\,\pi))]	[math((-1,\,0))]
[math(\cfrac{7\pi}6)]	[math(\cfrac12)]	[math(\biggl(\cfrac12,\,\cfrac{7\pi}6\biggr))]	제3사분면
[math(\cfrac{4\pi}3)]	[math(1-\cfrac{\sqrt3}2)]	[math(\biggl(1-\cfrac{\sqrt3}2,\,\cfrac{4\pi}3\biggr))]	제3사분면
[math(\cfrac{3\pi}2)]	[math(0)]	[math(\biggl(0,\,\cfrac{3\pi}2\biggr))]	[math((0,\,0))]
[math(\cfrac{5\pi}3)]	[math(1-\cfrac{\sqrt3}2)]	[math(\biggl(1-\cfrac{\sqrt3}2,\,\cfrac{5\pi}3\biggr))]	제4사분면
[math(\cfrac{11\pi}6)]	[math(\cfrac12)]	[math(\biggl(\cfrac12,\,\cfrac{11\pi}6\biggr))]	제4사분면
[math(2\pi)]	[math(1)]	[math((1,\,0))]	[math((1,\,0))]

표를 보면 사분면 순서대로 그려지는 것을 알 수 있는데, 이는 [math(r = \sin\underline\theta + 1\ge0)]이기 때문이다.

[math(r = sinunderlinetheta + 1)] 보러가기

5.4. 기타

[math(r = k(\sin\underline\theta + a))] ([math(k)]는 상수, [math(a)]는 [math(0<a<1)]인 상수) 꼴
폐곡선 안에 폐곡선이 있는 [math(y)]축 대칭 형태로, 직교 평면좌표 기준으로 원점[10]과 [math(\underline\theta = 0)] 또는 [math(\underline\theta = \pi)]일 때 [math((\pm ak,\,0))], [math(\underline\theta = \cfrac\pi2)]일 때 [math((0,\,k(1 + a)))]를 지난다. 예를 들어 [math(r = \sin\underline\theta + \cfrac12)]은 [math(\underline\theta = 0)], [math(\underline\theta = \cfrac\pi2)], [math(\underline\theta = \pi)]일 때 각각 [math(\biggl(\cfrac12,\,0\biggr))], [math(\biggl(0,\,\cfrac12\biggr))], [math(\biggl(-\cfrac12,\,0\biggr))]을 지나고, [math(\sin\underline\theta = -\cfrac12)], 즉 [math(\underline\theta = \cfrac{4\pi}3)] 또는 [math(\underline\theta = \cfrac{5\pi}3)]일 때 원점을 지난다.
[math(r = k(\sin\underline\theta + a))]([math(k)]는 상수, [math(a)]는 [math(a>1)]인 상수) 꼴
원점을 지나지 않고, [math(a)]가 클수록 원에 가까운 형태이다. 직교 좌표계 기준으로 [math(y)]축의 반대 방향이 약간 찌그러진 형태이다.
[math(r = k(\sin\underline\theta + a))]([math(a)], [math(k)]는 상수, [math(0\le\underline\theta\le2\pi)])의 곡선의 형태는 [math(r = k(\sin\underline\theta - a))]와 같다. 즉 위 두 식에서 [math(+a)]를 [math(-a)]로 치환해도 곡선의 형태가 변하지 않는다는 것이다. 이는 [math(k(\sin\underline\theta + a) = -k\{\sin(\pi+\underline\theta) - a\})]이므로, 좌변의 곡선에서 각이 [math(\underline\theta)]일 때 찍히는 점의 위치가 우변에서 각이 [math(\underline\theta+\pi)]일 때 찍히는 점의 위치와 같기 때문이다. 좌우변에서 각이 서로 반대 방향이지만 부호도 반전되기 때문에 극좌표상에서 점이 찍히는 위치는 서로 같다.

예를 들어 [math(r = \sin\underline\theta + 1)]과 [math(r = \sin\underline\theta - 1)]의 두 곡선의 모양은 같은데, 전자에서 [math(\underline\theta = \cfrac\pi6)]일 때 [math(r = \cfrac32)]이고, 후자에서 [math(\underline\theta = \cfrac{7\pi}6)]일 때 [math(r = -\cfrac32)]이다. 반지름의 부호와 각이 모두 서로 반대이므로 점이 찍히는 위치는 서로 같다.

[math(r = \sin(n\underline\theta)+1 ~ (n\ge2))]의 곡선은 상술한 [math(r = \sin(n\underline\theta))]처럼 꽃 모양이 되는데, 그것과 달리 [math(n)]이 짝수인지 홀수인지의 여부에 상관없이 꽃잎이 [math(n)]개이다. [math(n)]이 짝수일 때는 원점 대칭이고, 홀수일 때는 [math(y)]축 대칭이다.

[math(n)]이 홀수일 때, [math(r = \sin(n\underline\theta) + 1)]과 [math(r = \sin(n\underline\theta) - 1)]의 형태는 서로 같다. 상술한 부분의 내용을 여기에 적용시키면 그 이유를 알 수 있다.
[math(n)]이 짝수일 때, [math(r = \sin(n\underline\theta) + 1)]과 [math(r = \sin(n\underline\theta) - 1)]은 서로 좌우 대칭이다.

[math(r = \sin(n\underline\theta) + k)]([math(k>1)]인 상수, [math(n\ge2)])의 곡선은 원점을 지나지 않고 잎이 [math(n)]개인 모양이다. [math(k)]가 커질수록 원에 가까워진다.

6. 위상수학자의 사인곡선

자세한 내용은 위상수학자의 사인곡선 문서 참고하십시오.

7. 기타

반원을 나타내는 곡선과 정현파를 크게 구분하지 않는 경우가 있는데, 이 둘은 서로 엄연히 다르다. 최댓값 부분에서의 기울기는 둘 다 0이지만, 반원의 경우 끝부분에서의 기울기가 무한대로 발산하는 반면 정현파는 유한하다.
정현파와 포물선도 서로 다르다. 위로 볼록한 모양의 정현파와 포물선의 일부분, 이를테면 [math(0\le x\le2)]에서 각각 [math(y = \sin\pi x)], [math(y = -(x-1)^2+1)]을 생각하면 되는데, 둘 다 원점과 [math((2,\,0))]에서 기울기가 유한하고 [math((1,\,1))]에서 기울기가 0이라는 점은 같지만, 원점에서의 기울기는 정현파는 [math(\pi)], 포물선은 [math(2)]이다.
'정현파'는 일본식 표현이기 때문에 이러한 표기를 피하고 '사인파' 혹은 '사인 곡선'으로 대체해야 한다고 주장하는 사람들이 있으나, 사실 관계부터가 틀리다. '정현'(正弦)이라는 용어는 명나라를 방문했던 독일 출신[11]의 예수회 수도사였던 요한 슈레크(Johann Schreck, 1576 ~ 1630)가 서양의 수학서를 한문으로 옮기면서 처음 썼기 때문이다. 그의 사후인 숭정 4년(1631년)에 출판된 《대측》(大測)에서 正弦[12]이라는 표기를 찾아볼 수 있다. 현재 중국 수학 교육과정에서도 사인을 正弦, 코사인을 余弦, 탄젠트를 正切이라는 단어를 사용한다.
한편, 일본어 잔재설과는 상관없이 '정현파', '여현파'( 코사인 곡선)라고 하면 못 알아듣는 사람이 많다. 실제로 광복 직후 1950년 이전까지는 제대로 된 교육체제가 갖추어지지 않아 정현, 여현이라는 말로 가르쳤지만, 1차 교육과정 이후 교과서에서는 정현, 여현 대신 사인, 코사인이라고 가르치기 때문에 한자어 표현은 빠르게 사어가 되었다.

8. 관련 문서

[1] जीव는 일반적으로 '삶', '생명'을 뜻하는 단어이지만, 천문학 및 수학 분야에서는 '현', '사인(sine)'을 의미하는 단어로 쓰였다. [2] 아랍어는 자음을 나열한 뒤 모음을 각종 기호로 표기하는 언어인데, 문제는 이 모음 표기가 일상적으로는 생략되기 일쑤이다. 앞선 جيب는 목둘레깃, 옷깃( '가슴'을 에둘러 말할 때도 쓰인다), 공동_空洞 등을 의미하는 جَيْب(jayb; 자이브)와 산스크리트어 जीव(jīva; 지바)를 단순히 음차한 جِيبَ(jiyba; 지바) 두 경우로 읽을 수 있는데 sinus는 جَيْب(jayb)에 해당하는 역어이다. [3] 애초에 '코사인'이라는 이름 자체가 라틴어 'complimenti sinus'(상보적인 것(=여각)에 대한 sine)에서 유래한 것도 있고 영어 명칭 sinusoid 자체가 'sine과 유사한 것'을 의미하기 때문이다. [주의] [math(a\sin)]을 [math(\operatorname{asin})]으로 쓰면 다른 의미가 된다. [5] 정확히는 정현파의 각주파수 내지 각속도에 해당하는 값이다. 참고로 [math(\omega=2\pi f{\rm\,rad})](단, [math(f)]는 주파수)다. [6] 주기가 주파수의 역수로 정의되므로 각주파수에 반비례하는 것은 당연한 일이다. [7] 형태만 봐서는 '왜 장미 곡선이지?' 할 수 있겠으나, 사실 오늘날 흔히 볼 수 있는 겹꽃 장미는 18세기에 나온 것이다. 비슷한 이유로 장미 전쟁도 용어상의 문제로 혼선을 빚곤 한다. [8] Stewert 미분적분학에서 쓰는 명칭이다. [9] [math(\cfrac\pi3\le\underline\theta\le\cfrac{2\pi}3)], 각에 해당하는 사분면은 제1, 2사분면이지만 [math(r<0)]이므로 사분면이 반대가 된다. [10] [math(\sin\underline\theta + a = 0)]일 때 [math(r = 0)]이 되므로 [math(\underline\theta)]의 값에 상관없이 반드시 지난다. [11] 스위스라고 표기된 문헌도 있다. [12] 엄밀하게는 처음에는 정반현(正半弦)으로 언급하고 이후부터는 정현(正弦)으로 약칭한다.

정현파

1. 개요

2. 주기 및 형태

2.1. 극대점과 극소점

2.2. 정현파와 x축 사이의 넓이

2.3. 정현파의 길이

3. 곡률

3.1. 접촉원

4. 쓰임

4.1. 푸리에 변환

4.2. 시뉴소이드 도법

5. 극좌표에서의 정현파

5.1. n장 꽃잎 장미꼴

5.2. r=sin(aθ/b)( a⊥b) 꼴

5.3. r=k(sinθ+1) 꼴

5.4. 기타

6. 위상수학자의 사인곡선

7. 기타

8. 관련 문서

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