|
논리학 Logics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: -0px -10px -5px; min-height: 28px" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -6px -1px -11px;" |
<colbgcolor=#2ab5b5> 형식 논리 | 명제 논리( 논리 연산 · 삼단논법( 정언삼단논법) · 순환 논법) · 공리 · 진리치 · 술어 논리 · 논증( 논증의 재구성) · 모순 · 역설 · 논리적 오류( 논리적 오류/형식적 오류) · 변증법 | |
| <colcolor=#000,#fff> 비표준 논리 | 직관 논리 · 양상논리 · 초일관 논리 · 다치논리( 퍼지논리) · 선형논리 · 비단조 논리 | ||
| 메타 논리 | 집합론 · 완전성 정리 · 불완전성 정리 | ||
| 비형식 논리 | 딜레마( 흑백논리) | ||
| 비형식적 오류 | 귀납적 오류 · 심리적 오류 · 언어적 오류 · 자료적 오류 · 양비론 · 진영논리 · 편견 및 고정관념 · 궤변 · 거짓 등가성 | ||
| 분야 | 수리철학 · 수리논리학 | ||
| 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 · 수리논리학 둘러보기 | |||
|
수학기초론 Foundations of Mathematics |
|||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
다루는 대상과 주요 토픽 | ||
| 수리논리학 | 논리 · 논증{ 귀납논증 · 연역논증 · 귀추 · 유추} · 공리 및 공준 · 증명{ 증명보조기 · 자동정리증명 · 귀류법 · 수학적 귀납법 · 반증 · 더블 카운팅 · PWW} · 논리함수 · 논리 연산 · 잘 정의됨 · 조건문( 조각적 정의) · 명제 논리( 명제 · 아이버슨 괄호 · 역 · 이 · 대우) · 양상논리 · 술어 논리( 존재성과 유일성) · 형식문법 · 유형 이론 · 모형 이론 | ||
| 집합론 | 집합( 원소 · 공집합 · 집합족 · 곱집합 · 멱집합) · 관계( 동치관계 · 순서 관계) · 순서쌍( 튜플) · 서수( 하세 다이어그램 · 큰 가산서수) · 수 체계 · ZFC( 선택공리) · 기수( 초한기수) · 절대적 무한 · 모임 | ||
| 범주론 | 범주 · 함자 · 수반 · 자연 변환 · 모나드 · 쌍대성 | ||
| 계산가능성 이론 | 계산 · 오토마타 · 튜링 기계 · 바쁜 비버 · 정지 문제 · 재귀함수 | ||
| 정리 | |||
| 드모르간 법칙 · 대각선 논법 · 러셀의 역설 · 거짓말쟁이의 역설 · 뢰벤하임-스콜렘 정리 · 슈뢰더-베른슈타인 정리 · 집합-부분합 정리 · 퍼스의 항진명제 · 굿스타인 정리 · 완전성 정리 · 불완전성 정리( 괴델 부호화) · 힐베르트의 호텔 · 연속체 가설 · 퍼지 논리 | |||
| 기타 | |||
| 예비사항( 약어 및 기호) · 추상화 · 벤 다이어그램 · 수학철학 | |||
| 틀:논리학 · 틀:이산수학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 · 철학 관련 정보 · 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 | }}}}}}}}} | ||
1. 개요
논리적 귀결을 맺는 두 명제 간에 성립하는 관계. 표준논리에서 조건문 '[math(P \rightarrow Q)]'의 전건인 P와 후건인 Q 간에 성립하는 관계로 이해할 수 있다. [math(P \rightarrow Q)]가 참이라고 할 때 P를 'Q가 성립하기 위한 충분조건'이라고 부르며, 반대로 Q를 'P가 성립하기 위한 필요조건'이라고 부른다.관계를 다시 설명해보자면. [math(P \rightarrow Q)]가 항상 참이 라면, Q는 P와 같거나 혹은 P를 전부 포함하는 더 큰 집합이어야 한다. Q는 P보다 같거나 큰 집합이기에 Q는 항상 P가 될수 없고, 만약 Q가 P가 되려면 어떤 조건이 필요하다. 따라서 Q를 'P가 성립하기위한 필요조건'이라고 한다. 반대로 Q는 P를 포함하고 있기 때문에 P는 항상 Q가 될 수 있다. 어떤 조건도 필요없이 조건이 충분한 상태이기에 P를 'Q가 성립하기 위한 충분조건'이라고 한다.
예를 들어, 운전면허증 보유(Q)는 택시를 운전(P)하기 위한 필요조건이다. 운전면허를 보유 했다고 해도 택시를 운전하려면 택시 면허 증이라는 조건이 필요하다. 반대로 택시를 운전(P)한다면 운전면허를 보유하고 있다는 것(Q)이기에 충분조건이다. 이미 택시 운전을 한다고 하면 택시면허를 가지고 있을 것이고, 택시 면허를 가지고 있다면 당연히 운전면허를 가지고 있어야 한다. 따라서 택시 운전한다는 것은 운전면허를 가지고 있는 충분한 조건이 있다.
이 필요조건과 충분조건은 영어에서 부르는 용어를 직역한 것으로, 필요조건은 어떤 것이 참이 되기 위해 반드시 필요한 조건있어야 한다는 의미에서, 충분조건은 어떤 것이 참이 되기 위해서 충분한 조건이 있다는 의미에서 유래했다.
배경지식
- [논증] / 증명 / 입증 (proof, demonstration): 참 거짓을 나눌 수 있는 문장이다. 전제와 결론으로 구성되며, 각각의 전제와 결론은 명제이다.
- [명제] (proposition): 참과 거짓을 나눌 수 있는 문장이다. 논증의 구성요소인 전제와 결론이 바로 명제이다. 명제는 문장 구조에 따라 다양한 종류로 나뉘는데, 대표적인 것이 바로 조건명제이다.
- [조건] (condition): 명제의 한 종류로, "A이면 B이다" 구조를 가진 명제이다. 앞에 A는 전건(앞 조건)이라 하고 B는 후건(뒷 조건)이라 한다.
2. 종류
2.1. 필요조건
Necessary Condition[math(P \rightarrow Q)]가 참일 때 그 정의에 의해 명제 P가 참이 되기 위해 먼저 명제 Q가 참일 필요가 있다. 즉 Q는 P가 성립하기 위한 필요조건이다. Q가 P를 포함하는 개념으로 볼 수 있다.
"Q는 P의 필요조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다[1]:
구체적인 예시는 다음과 같다:
- ' 아리스토텔레스는 동물이다'는 ' 아리스토텔레스는 사람이다'의 필요조건이다. (아리스토텔레스가 사람이기 위해서는 아리스토텔레스가 동물일 필요가 있다.)
- 여대에 입학하려면,여자여야 한다. (여자는 여대에 입학하기 위한 필요조건이다.)
- 공무원이 되려면 공무원 시험에 합격해야 한다. (공무원이기 위해서는 공무원 시험에 합격할 필요가 있다.)
필요조건을 충분조건으로 착각하면 후건긍정의 오류가 된다. '급수가 수렴하려면 일반항의 극한값이 0이어야 한다'라는 문장을 예로 들면, 급수가 수렴하려면 일반항의 극한값이 0이어야 하지만(필요조건) 착각하여 충분조건으로 오해하면 '극한값이 0이니 급수는 수렴한다'가 되는데 이는 사실이 아니기 때문(반례: 조화급수).
2.2. 충분조건
Sufficient Condition[math(P \rightarrow Q)]가 참일 때 그 정의에 의해 명제 P가 참이라면 명제 Q는 참임이 충분히 보장된다. 즉 P는 Q가 성립하기 위한 충분조건이다. P가 Q에 포함되는 개념으로 볼 수 있다. (따라서 충분조건 일때는 [math(P \rightarrow Q)]는 조건이 충분하기에 참이다.)
"P는 Q의 충분조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다:
구체적인 예시는 다음과 같다:
- '철수는 농구를 한다'는 '철수는 운동을 한다'의 충분조건이다. ('철수가 농구를 한다'면 '철수는 운동을 한다'라고도 충분히 말할 수 있다.)
충분조건을 필요조건으로 착각하면 전건부정의 오류가 된다.
2.3. 필요충분조건
Necessary and Sufficient ConditionP → Q가 참이고 Q → P가 참이면 그 정의에 의해 P가 참이면 Q가 참이고 P가 거짓이면 Q는 거짓이다.
P → Q가 참일 때 P이면 Q이고, Q → P가 참일 때 P가 아니면 Q가 아니기 때문이다. 즉 P는 Q의 필요충분조건임과 동시에 Q는 P의 필요충분조건이다.
"P는 Q의 필요충분조건이다"와 그 의미가 같은 문장들은 다음과 같다:
- [math(P \Leftrightarrow Q)]
- P이면 Q이며, Q이면 P이다.
- P가 아니면 Q가 아니며 Q가 아니면 P가 아니다.
- P인 경우 오직 그 경우에만 Q이다.
- P if and only if Q
- Q는 P의 필요충분조건이다.
P와 Q가 필요충분조건 관계인 경우 P와 Q는 ' 동치'가 된다.
3. 여담
- 수리논리학에도 등장하는 논리학의 기초적인 개념이다.
- 필요조건은 흔히 일상에서 일컫는 ‘조건’과 유사하며 상대 조건문보다 상위 또는 전제적 개념에 가깝다. 충분조건은 상대 조건문보다 하위 또는 결론적 개념에 가깝다.
- 쉽게 외우는 방법 중에 "화살표 맞은 쪽이 피가 나니까 필요조건 화살표 쏘는 쪽에서 출발하니까 충분조건"가 있다. 다만 개념적 이해로 들어가면 주체가 뒤에 있는 명제이므로 '뒤에 있는 명제가 필요'한 것이 필요조건, '뒤에 있는 명제가 충분'해지는 것이 충분조건이다.
- 이 필요조건과 충분조건을 혼동하면 전건부정/후건긍정의 오류가 된다.
- 수학도들이 지겹게 암기하는 정의, 정리, 증명의 패턴에서 [math(\Leftrightarrow, \Rightarrow, \Leftarrow)] 등의 두줄 화살표가 많이 쓰인다. 한줄 화살표는 함수 및 사상의 정의역과 치역, 공역을 나타낼 때 주로 쓰이기 때문에 한줄 화살표와 두줄 화살표의 용도는 제법 엄격하게 구분되는 편. 그러나 정작 필기와 판서가 아닌 수학 교과서에서 이 기호를 쓰는 경우는 의외로 드물다. 한국어 교과서들이 쓰는 경우는 꽤 있으나, 영어 및 불어 교과서에서는 범주론이나 수리논리학 같은 일부 수학기초론 과목에서 이 두 줄 그은 화살표를 자연 변환 등의 중요한 의미를 나타내기 위해 쓰기도 해서인지 그리 흔히 보이지는 않는다. 대신 영어 교과서에서는 필요충분조건을 진술할 때 "다음은 동치이다; (1) P(x) (2) Q(x)"라는 패턴을 쓰거나 위에서 말한 P(x) iff Q(x) 같은 문장을 쓰는데, iff의 경우 영어와 한국어 어순의 차이 때문에 P⇒Q를 먼저 증명함은 P only if Q를 증명함이므로 초보 독자들은 가끔 필요조건과 충분조건이 무엇인지 혼동하기도 한다.
- 두 조건이 서로 필요조건과 충분조건의 관계에 있을 때, 두 조건을 부정하면 필요조건과 충분조건의 관계가 서로 바뀐다. 즉, P가 Q이기 위한 충분조건이면 ~P는 ~Q이기 위한 필요조건이 된다.
- 고등학교 수학을 가르치는 학원 강사들은 '필요조건과 충분조건'을 통틀어 일컫거나 '필요충분조건'을 얘기할 때 '필충( 必 充)'이라고 줄여부르는 경우도 많다. '필충'이 뭘 가리키는지는 맥락을 보고 판단해야 한다.
[1]
다만
한국어나
영어 같은 자연 언어의 문법은
표준논리의 실질조건 연산자 '→'의 문법과 다른 경우가 있으므로 주의를 요한다.
문서 참조.
[2]
Q라면 'P일 수 있다'를 'P이다'라고 하는 오류가 후건긍정의 오류이다.
[3]
즉, ~Q는 ~P의 충분조건이다.
[4]
즉, P가 아니기 위해서는 Q도 아니어야만 하므로, ~P는 ~Q의 필요조건이다.
[5]
전건부정의 오류는 '아닐 수 있다'를 '아니다'로 착각하여 일어나는 오류이다.
[6]
또는 if/f