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최근 수정 시각 : 2024-10-25 17:25:54

자연로그의 밑

상수 e에서 넘어옴

수학 상수
Mathematical Constants
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1. 개요2. 상세
2.1. 구체적인 값
3. 정의
3.1. 극한을 이용한 정의3.2. 미분계수를 이용한 정의3.3. 정적분을 이용한 정의3.4. 급수를 이용한 정의
4. 용어의 명칭 관련 논란5. 발견 히스토리
5.1. 팩토리얼을 사용한 생성함수5.2. 자연로그
6. 기타7. 관련 문서

1. 개요
자연로그의 밑에 대한 설명 (한국어)

자연로그를 정의하는 상수. 상수 e라고 한다.

2. 상세

이 값은 무리수이면서 초월수로, 소수 열째 자리까지 나타내면 [math(2.7182818284\cdots)]이다. 이 값은 1.444667861...을 무한 지수 탑을 쌓았을 때의 값이기도 하다. 언급할 때마다 숫자열을 일일이 나열하는 것이 번거롭기에 원주율([math(\pi)])처럼 상수 [math(e)]로 표기되는데 오일러가 이렇게 썼다. 오일러(Euler)의 첫 글자를 땄다는 설이 있는데 이는 사실무근이며, 자연로그의 밑은 지수함수에서도 밑이므로 지수함수(exponential function)의 앞글자에서 따온 거란 이야기가 지배적이다. 지수 부분에 복잡한 함수가 포함되는 경우 지수 표기(위첨자)로 나타내면 알아보기 어렵기 때문에 Exponential의 앞 세글자들 따 삼각함수나 로그함수처럼 [math(\exp)]로 쓰는 경우가 많다.([math(e^{x}=\exp{x})] 형태로 쓴다. 지수가 순허수인 경우 [math(e^{ix}=\operatorname{cis}(x))] 형태로 쓰기도 한다.) 또한 오일러 이전에 극한식으로 정의되는 값을 찾기 위한 연구 기록을 베르누이가 남긴 바 있고, 나중에 라이프니츠와 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)가 이 값을 [math(b)]라고 쓴 전례(정황상 베르누이의 이름에서 따온 듯하다)가 있다.

2.1. 구체적인 값

소수점 아래 1000 자리까지의 값은 다음과 같다.
자연로그의 밑 소수점 이하 1000자리 [펼치기 · 접기]
2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274
2746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901
1573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992069
5517027618386062613313845830007520449338265602976067371132007093287091274437470472306969772093101416
9283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312
7736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117
3012381970684161403970198376793206832823764648042953118023287825098194558153017567173613320698112509
9618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496
8487560233624827041978623209002160990235304369941849146314093431738143640546253152096183690888707016
7683964243781405927145635490613031072085103837505101157477041718986106873969655212671546889570350354

3. 정의

3.1. 극한을 이용한 정의

[math(e)]가 사용되기 시작한 것은 하단의 정적분 연구가 시초라고 알려져 있지만, 교육 현장에선 이처럼 함수의 극한으로 정의하는 [math(e)]가 가장 일반적인 방법이다. 전문적인 용어로는 야코프 베르누이의 계산법이라고 한다.

함수 [math(y=(1+x)^{1/x})]을 고려하자. 자연로그의 밑은 이 함수의 [math(x \to 0)] 극한값으로 정의한다.
[math(\displaystyle \lim_{x\to 0}{(1+x)^{1/x}} =:e )]

이는 아래와 같이 그래프로도 확인할 수 있다.

파일:namu_자연로그_1.svg

[math(t=\dfrac1x)]로 치환하면 [math(x\to0+)]일 때 [math(t\to\infty)]이므로 다음 식을 얻는다.
[math(\displaystyle \lim_{t\to\infty}{\left(1+\frac1t \right)^t} = e )]

이것은 아래와 같이 그래프에서도 확인할 수 있다.

파일:namu_자연로그_3.svg

수열의 극한에서도 동일하게 성립한다. 즉, 두 수열 [math(\{(1+n)^{1/n}\})], [math(\{( 1+n^{-1} )^{n}\})]에 대해 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \lim_{n \to 0}{(1+n)^{1/n}}=\lim_{n \to \infty}{\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}} )]

3.2. 미분계수를 이용한 정의


[math(e)]를 [math(x=0)]에서 접선의 기울기가 [math(1)]이 되는 지수함수의 밑으로 정의할 수도 있다.

즉, 다음 극한을 만족하는 수 [math(e)]가 자연로그의 밑이다.
[math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1)]

이렇게 정의하고 나서 약간의 치환을 거치면 상술한 극한을 이용한 정의를 유도할 수 있고 지수함수와 로그함수의 도함수도 유도할 수 있다.

3.3. 정적분을 이용한 정의

파일:namu_자연로그_3.svg

위 그림과 같이 자연로그의 밑을 유리함수의 하나인 [math(f(x)=x^{-1})]의 그래프에서 [math(x=1)], [math(x=e>1)], [math(x)]축, [math(y=f(x))]로 둘러싸인 영역의 넓이가 1이 되도록 하는 상수 [math(e)]로 정의할 수도 있다. 즉,
[math(\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{x}\,{\rm d}x =1 )]
를 만족시키는 상수 [math(e)]를 자연로그의 밑으로 정의한다.

일반화로, [math(e)] 대신 임의의 양수를 넣으면 해당 양수의 자연로그값을 얻을 수 있다.[1]
[math(\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{1}{x}\,{\rm d}x =\ln a \quad (a >0))]

3.4. 급수를 이용한 정의

[math(\displaystyle e \overset{\underset{{\sf def}}{}}{=} \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!})]
[math(e^{x})]를 [math(x=0)]에서 전개한 테일러 급수[2]인
[math(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n}}{n!})]
에 [math(x=1)]을 대입한 일반항으로도 볼 수 있으며, 수렴하는 것 자체는 자명하지만, 먼저 이 급수가 정말로 수렴하는지부터 확인하자.
[math(\displaystyle \begin{matrix} S_{n} &=& 1&+&1&+&\dfrac{1}{1\cdot 2}&+&\dfrac{1}{1\cdot 2 \cdot 3}&+&\cdots&+&\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot n}\\ &<& 1&+&1&+&\dfrac{1}{2}&+&\dfrac{1}{2^{2}}&+&\cdots&+&\dfrac{1}{2^{n-1}}\\&<&3\end{matrix})]
유계인 단조 증가 수열은 수렴하므로 이 급수는 수렴한다. 이제, 이 값을 [math(e)]라고 정의한 뒤, 다른 정의와 값이 일치하는지를 보자.
[math(\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=T_{n})]
이라고 정의하자. 이 수열의 극한
[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n})]
은 위에서 극한으로 정의한 값에 따라 [math(e)]가 됨은 자명하므로, 이 수열의 극한이 여기서 정의한 [math(e)]와 같음을 보이면 충분하다. 두 값을 비교하기 위해서, [math(T_n)]의 극한은 [math(e_{T})], [math(S_n)]의 극한은 [math(e_{S})]라고 표기한다. 즉, 우리가 보여야 할 것은 [math(e_{S}=e_{T})]이다.

[math(T_{n})]을 이항정리에 따라 다시 써보자.
[math(\displaystyle \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}\left(\dfrac{1}{n}\right)^{k})]이므로, [math(\displaystyle T_{n}=1+n\times\dfrac{1}{n}+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\times\dfrac{1}{n^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^n})]
따라서
[math(\displaystyle T_{n}=1+1+\dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+\cdots+\dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right))]
로 바꿔 쓸 수 있다. 또한, [math(T_{n})]과 [math(S_{n})]을 비교해보면, [math(T_{n}\leq S_{n})]임은 자명하다.[3] 그러므로
[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_{n}=e_{T}\leq\lim_{n\to\infty}S_{n}=e_{S} \quad \to \quad e_{T}\leq e_{S} \quad \cdots \, \text{①})]
가 성립한다.

[math(\forall n\geq m\in\mathbb{N})]에 대하여[4]
[math(\displaystyle T_{n}\geq 1+1+\dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+\cdots+\dfrac{1}{m!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{m-1}{n}\right))]
역시 위의 전개와 비교하면 자명하다.

이제 [math(m)]을 고정하고 [math(n \to \infty)]로 극한을 취하자.
[math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}T_{n}=e_{T}\geq\lim_{n\to\infty}\left[1+1+\dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+\cdots+\dfrac{1}{m!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\dfrac{m-1}{n}\right)\right]=S_m)]
이 된다.[5]

따라서 [math(\forall m \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(\displaystyle S_m \leq \lim_{n\to\infty}T_n=e_{T})]이므로, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle e_{S}=\lim_{n\to\infty}S_n=\sup\{S_n\}\leq\lim_{n\to\infty}T_n=e_{T} \quad \to \quad e_{S}\leq e_{T} \quad \cdots \,\text{②})]
①과 ②에 의해 [math(e_{T}\leq e_{S})]이며 [math(e_{S}\leq e_{T})]이므로 실수집합상에서의 전순서관계에 의한 반대칭관계가 성립하므로 두 값은 일치한다. 즉 급수의 정의로 얻은 [math(e)]는 극한의 정의로 얻은 [math(e)]와 같음이 증명되었다.

더 나아가 1 대신 임의의 복소수를 넣으면 아래와 같이 표현 가능하다. 오일러 공식 참고.[6]
[math(\displaystyle e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} {{[ \Re(z) ]}^n \over n!} \left( \sum_{k=0}^\infty \dfrac{\left(-1\right)^k {[ \Im(z) ]}^{2k}}{(2k)!} + i \sum_{k=0}^\infty \dfrac{\left(-1\right)^k {[ \Im(z) ]}^{2k+1}}{(2k+1)!}\right))]

4. 용어의 명칭 관련 논란

유독 대한민국에서는 '자연상수'란 용어가 퍼져 있지만 자연상수는 표준 용어가 아니다. 공식 수학 용어를 채택하는 대한수학회에서도 [math(e)]는 자연로그의 밑으로 등재했으며, 표준국어대사전이나 기타 백과사전에서도 '자연상수'라는 말은 찾아볼 수가 없다. 보통 마땅한 용어가 없으면 해외에서 수입하는 경우가 있으나, 자연상수는 이런 연유조차 발견할 수 없다. 일단 영어권에서 natural constant란 용어는 존재하지 않으며 오히려 natural constant라고 하면 물리 상수로 알아듣는다. 또 한국 수학 교육과정의 용어에 큰 영향을 끼친 일본에서조차 [ruby(自然定数,ruby=しぜんていすう)]라고 하지 않는다. 영어권에서는 대개 단순히 the number e라고 칭하거나 '오일러의 수(Euler's number; オイラー[ruby(数,ruby=すう)], 欧拉数, número de Euler 등)'라는 명칭으로 부른다. 오일러의 이름이 붙은 수는 많으나 다른 수의 경우 Euler's constant, Euler numbers, Eulerian numbers 등으로 모두 형태를 달리하여 구분한다.[7]

자연상수는 언제 누가 어디서 처음으로 썼는지는 알려지지 않았으나 구글 검색으로 나오는 가장 오래된 기록은 1999년 10월 8일경 작성된 한 경제학 칼럼 개인 사이트로 보인다.[8] 또한 서울대학교의 기초교육 강의 교수로 지내는 정 모 교수가[9]가 '자연상수'란 용어를 독자적으로 주장하고 있다고 한다. 반대로, 같은 서울대학교 교수인 계 모 교수는[10] 이 용어 사용에 대해 회의적이라고 알려져 있다.

파일:미적분학 1+ · 2+ (김홍종 저) 머리말.jpg
어쩌다 보니 논란에 불을 지핀 격인 서울대학교 측에서도 이 일을 아는 모양이었는지, 이후 미적분학 1+ · 2+ (김홍종 저) 머리말에 '자연상수'는 공식 용어가 아니고 이 책에 한해서 그렇게 부르겠다는 문구를 수정판 머리말에 넣어 공식 용어가 아님을 확인하였다.[11]

이렇듯이 '자연상수' 사용을 따로 금지해야 한다는 법은 없으나, 객관적인 정보를 전달해야 하는 논문 저자, 교육자, 전공자 등 수학계에 있는 사람들은 이러한 불확실한 용어 사용을 가급적 피해야 할 것이다.

'네이피어 상수(Napier's Constant, ネイピア数, 纳皮尔常数, constante de Napier 등)'로 부르자는 움직임이 있지만, 이 또한 하자가 있다. 네이피어는 자연로그의 값을 처음으로 기록한 사람이지 [math(e)]를 연구한 사람이 아니며, 이 값을 계산하는 방법은 오히려 야코프 베르누이가 창안해냈다. 그러므로 굳이 이 사안에 인명을 기려내고자 한다면 네이피어가 아니라 야코프 베르누이의 이름을 담아내야 할진대, 정작 베르누이의 수([math(B_n)])가 이미 존재하는 까닭에 베르누이를 붙이기도 애매한 모양이 되었다.[12]

다른 나라에서 자연로그의 밑을 따로 지칭하려는 움직임은 거의 없다. 왜 유독 대한민국에서만 이런 현상이 발생하는지에 대한 여러 추측이 있으며, 가장 유력한 가설은 교육과정 서술상의 순서의 문제점이라는 것. 외국 교육과정에선 대한민국 교육과정과 반대로 자연로그를 먼저 서술한 뒤 그 다음 밑을 알려주는 순서를 따르는데[13] 대한민국에서는 [math(e)]를 먼저 서술하는 성격 탓에 이런 현상이 발생했다는 것. 그래서 대부분의 국내 교과서에선 '무리수 [math(e)]'라고 부르고 있다. 하지만 이 경우는 국내 교육과정 하에 승인된 용어일 뿐, 국제에서 범용화된 용어는 아니다. 해외에선 Irrational number [math(e)]라고 하는 경우가 드물다. 정작 교육과정에서 [math(e)]가 무리수임을 증명하는 과정은 서술하고 있지 않다. 차라리 교과서 정의에서 채택하고 있는 극한의 방식을 따라 '극한값 [math(e)]'로 쓰는 게 더 적절할 수도 있다. 2015 개정 교육과정 일부 교과서에선 이 점에 근거해 '극한값 [math(e)]' 혹은 '수 [math(e)]'로 바뀌었다.

5. 발견 히스토리

상수(constant number) e는 역사상 연대기순으로 보았을때 간접적으로는 1614년 자연로그의 값을 선구적으로 연구한 존 네이피어(John Napier)[14]와 연관있으며 직접적으로는 1685년 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)가 연속 복리(compound interest) 문제를 극한식으로 정의할때 이항식에서 [math( 2\dfrac{1}{2} )]와 [math( 3 )]사이의 값을 찾기 위한 연구 기록과 관련있다.[15] [16]이러한 개념을 기초적인 상수(constant number) e의 정의로 가정한다면 이것이 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)에의해 처음으로 발견한 상수 e의 사례라고 할수있다. 그러나 여전히 이때까지도 그는 이렇게 발견된 상수 e의 값이 자연로그의 밑 값 e와의 연관성을 인식하지 못한것으로 알려져있다. [가] OEIS번호는 A001113이다. [18]
한편 상수 e는 줄여서 수 e(the number e)라고도 한다. [가]

5.1. 팩토리얼을 사용한 생성함수

팩토리얼을 사용한 생성함수는 [math(\sum\limits_{n= \infty} {{1}\over{n!}})] ,n=자연수 이다.
[math( = {{1}\over{0!}} + {{1}\over{1!}} + {{1}\over{2!}} + {{1}\over{3!}} + {{1}\over{4!}} + {{1}\over{5!}} + {{1}\over{6!}} + \dots )]
[math( = {{1}\over{1}} + {{1}\over{1}} + {{1}\over{2}} + {{1}\over{6}}+ {{1}\over{24}}+ {{1}\over{120}}+ {{1}\over{720}} + \dots )]
[math( =2.7182… )]

5.2. 자연로그

상수(constant number) e가 로그(log)의 밑으로 다루어질때 자연로그의 밑 e라고 부른다.
상수 e가 자연로그의 밑 e로도 불린다는 사실은 상수 e가 자연로그의 밑 e와 같다는 의미이며 이것은 곧 지수(exponential) 함수와 로그함수가 역함수의 관계에 놓여있다는 사실을 이해할때 가능하다. 이러한 사실을 구체적으로 이해하고 로그와 지수 사이의 관련성을 연결한 최초의 사람들로는 1690년을 전후해서 제임스 그레고리(James Gregory), 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz) 그리고 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)가 알려져있다.[가]

6. 기타

초월수는 대수적 다항식의 근이 될 수 없으므로 [math(e)]가 대수적 수라 가정하자. 즉, [math(e)]는 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}=0)]의 근이 되므로 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=0)]가 된다. 이 식의 각 항에 [math(e)]를 곱하면,

[math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e\cdot a_{k}e^{k}=0 \quad \cdots \, (\ast))]

이제 [math(a_{k}\cdot e=\alpha_{k})]라고 두자. [math(k)]는 0부터 [math(n)]까지의 서로 다른 대수적 수인 정수다. 또한 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_{k}e^{k}=0)]가 대수적 다항식이므로 적어도 1개 이상의 [math(a_{k}\neq0)]인 [math(k)]가 존재한다. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여

[math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e^{k}=\sum_{k=1}^{n}e\cdot a_{k}e^{k}\neq 0)]

이어야 한다. 그런데 [math((\ast))]는 그 값이 0이어야 한다. 이는 모순이므로 [math(e)]가 대수적 수라고 가정한 전제가 틀렸다는 결론이 나온다. 따라서 귀류법에 의하여 전제가 된 [math(e)]는 대수적 수라는 것이 거짓이므로 [math(\boldsymbol{e})]는 초월수라는게 증명되었다.||

7. 관련 문서

[1] 그래서 자연로그는 정적분으로 정의된 함수로도 볼 수 있다. [2] 정확하게는 [math(x=0)]에서 전개하므로 매클로린 급수에 속한다. [3] [math(T_n)]의 각 항을 보면 [math(S_n)]의 각 항에 [math(\displaystyle \left(1-\dfrac{k}{n}\right)(1\leq k\leq n-1))]를 곱한 꼴임을 알 수 있는데, 이 곱해진 수가 1보다 작으므로 각 항마다 조금씩 작아져서 결과적으로 급수의 합도 작아지기 때문. [4] 임의의 자연수 [math(n)]이 주어졌을 때, [math(n)]보다 작거나 같은 자연수 [math(m)]에 대하여 [5] 유한한 수인 [math(m)]에 비해 [math(n)]이 무한하게 늘어나기 때문에, [math(\displaystyle 1-\dfrac{\cdots}{n})]이 1과 다를 바 없어지기 때문에 모든 소괄호가 전부 1이 되어 생략할 수 있게 된다. [6] [math(\Re)], [math(\Im)]는 각각 해당 복소수의 실수부, 허수부를 뜻한다. [7] 그런데 중국어 같은 경우 바이두 백과에서는 진짜로 자연상수(自然常数, zìránchángshù)라고 지칭하고 있으며 실제 용례도 검색된다. 이 단어의 기원이나, 한국의 ‘자연상수’ 용어와의 관련성은 알 수 없다. [8] 개인 사이트는 사라졌으나 해당 글을 그대로 인용한 다른 글 https://daebag2001.tistory.com/9 이 있다. [9] 네이버캐스트 수학 산책에 '자연 상수 [math(e)]'를 작성한 사람이다. 참고로 네이버 관련 자료에 모두 이의 신청을 받아들여 '자연로그의 밑', '네이피어의 수', '극한값 [math(e)]'로 모두 수정된 상태인데 이 분만 자연상수라는 용어를 그대로 쓰길 원한다고 한다. [10] 김김계로 유명한 바로 그 놈분이다. [11] 참고로 해당 서적엔 자연로그의 밑 외에도 이 책에서만 이렇게 부르기로 약속된 독자적인 기호나 용어가 여럿 있다. [12] 엄밀히 말하자면 베르누이는 수가 아니라 수열이지만, 이미 이쪽도 입말이 되어버렸기에 혼동될 가능성이 있다. 비슷한 케이스로 피타고라스 수가 있다.(수가 아닌 집합족) [13] 일각에선 자연로그의 정의 자체보단 값([math(2.71828\cdots\cdots)])만 외우게 되는 주입식 교육을 우려해 이 방식이 채택됐다고 해석한다. [14] Mirifici Logarithmorum Canonis descriptio, Ejusque usus, in utraque Trigonometria Metadaten Autor Neperus Merchistonius, Johannes 1614 https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN527914568?tify=%7B%22pages%22 [15] P214(J.B. Quaestiones nonnullae , propofiti in Epbem. Gall. A. 1685 artic. 25),P216("fi a=b, debebitur plus quam 2½a & minus quam 3a.") https://books.google.co.kr/books?id=-ZcOx7mALMYC&pg=PA216&lpg=PA216&dq=Alterius+natur%C3%A6+hoc+Problema+est:+Qu%C3%A6ritur,+si+creditor+aliquis+pecuni%C3%A6+summam+f%C3%A6nori+exponat&source=bl&ots=v6LQq6Zn-h&sig=ACfU3U3GJTeAImaJGUeIJQfX-kTdRsYdVQ&hl=ko&sa=X&ved=2ahUKEwjCiY2uzIz5AhWGpVYBHZyaCbQQ6AF6BAgEEAM [16] Opuscola omnia actis eruditorum lipsiensibus inserta, quæ ad universam mathesim,physicam, medicinam, anatomiam, chirurgiam, et philologiam pertinent; nec non epitomæ si quæ materia vel criticis animadversionibus celebriores.Tomus primus \[-septimus\]: Tomus secundus ab anno 1688. ad annum 1693. et supplementa ad primum decennium. 2 P216("fi a=b, debebitur plus quam 2½a & minus quam 3a.") 1741년 1월 · typis Jo. Baptistæ Pasquali https://play.google.com/books/reader?id=-ZcOx7mALMYC&pg=GBS.PA1&hl=ko [가] MacTutor History of Mathematics Archive - The number e https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e/ [18] OEIS A001113 Decimal expansion of e https://oeis.org/A001113 [가] [가] [21] [math(e^\pi = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i})]이며 [math(-1)]은 [math(0)], [math(1)]이 아닌 대수적인 수, [math(-i)]는 유리수가 아닌 대수적인 수이기 때문에 겔폰트-슈나이더 정리에 따라 [math(e^\pi)]는 초월수이다. [22] 이 방정식에서 [math(y = x)]가 아닌 자연수 x, y의 순서쌍은 [math((2, 4))], [math((4, 2))]이다. [23] 자연로그는 나오지 않고 [math(e)]에 대해서 살짝 다루는 정도다. 미적분과 달리 자연상수라는 잘못된 명칭을 그대로 쓴다. [24] 귀류법으로 [math(e = m/n)]이라 하고, [math(n!e)]를 생각해보자. [math(\displaystyle n!e = \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{n!}{k!})]는 정수다. 그러나 [math(n!e)]의 실제 값은 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!})]과 [math(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!} + 1)] 사이 어딘가에서 수렴하므로(증명은 앞서 서술했다) 모순이다. 조제프 푸리에가 [math(e)]가 무리수임을 증명하기 위해 이 방법을 사용했다. [25] 그래도 정수 계수 이차방정식의 근이 될 수 없다는 것은 무리수 증명보단 어렵지만 초월수 증명에 비해 쉽게 보일 수 있다. 귀류법으로 [math(ae+b/e = c)], [math(a\neq 0)]을 만족시키는 정수해 [math(a)], [math(b)], [math(c)]가 있다고 가정한 후 [math(e)]와 [math(e^{-1})]의 테일러 전개를 잘 이용해주면 된다. [26] 참고로 [math(e\pm\pi)]와 [math(\pi e)] 둘 중 적어도 하나는 초월수라는 것 자체는 [math(e)]와 [math(\pi)]가 둘 다 초월수라는 사실을 이용하면 어마어마하게 쉽게 보일 수 있다. 대수적인 수를 모아놓은 집합은 일반적인 연산에 대해 닫혀있는 체(수학적으로는 유리수 체의 대수적 폐포([math(\mathbb{Q}_{\mathbb{A}})])라고 한다.)인데, 이를 이용하면 된다. 간단히 말해서, 둘 다 대수적인 수라고 가정하면 [math(x^{2}-\left(e\pm\pi\right)x\pm\pi e=0)]이라는 이차방정식이 [math(\left(x-e\right)\left(x\mp\pi\right)=0)]으로 인수분해되므로, [math(e)]와 [math(\pi)]는 대수적인 수라는 결론이 나와야 하는데, 둘 다 초월수임은 밝혀졌기 때문에 모순이 된다. 즉, [math(e\pm\pi)]와 [math(\pi e)]가 둘 다 대수적이라고 가정한 전제가 틀렸다는 결론이 나와서 적어도 하나는 초월수라는 결론이 나오는 것. [27] 선형독립된 유한개의 대수적 수는 [math(e)]의 거듭제곱을 하더라도 선형독립이라는 정리. 즉, 모두 0이 아닌 대수적 수 [math(\alpha_{k})]에 대하여 서로 다른 대수적 수 [math(\beta_{k})]가 존재할 때 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\beta_{k}\neq 0)]과 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}e^{\beta_{k}}\neq 0)]는 동치다 라는 정리다. 린데만-바이어슈트라스 정리의 증명에서 [math(e)]는 초월수라는 것을 이용하지 않기 때문에 가능한 방법으로, 만약 [math(e)]가 초월수라는 사실을 이용했다면 아래의 내용은 순환오류를 내포하게 되므로 증명이 될 수 없다. [28] 사실 여기까지 갈 필요도 없이, 린데만-바이어슈트라스 정리의 자명한 동치에 따라 실수 [math(\alpha)]가 0이 아닌 대수적인 수일 때 [math(e^\alpha)]는 초월수라는 것을 이용하면 바로 증명이 가능하다. [math(e=e^1)]이고, [math(1)]은 0이 아닌 대수적인 수이기 때문에 [math(\{e^0=1, e^1=e\})]은 대수적 수체 위에서 1차독립. 즉 [math(e)]는 초월수가 되기 때문. [29] 고등학교 교과서에서는 무리수 [math(e)] 관련 내용이 초반 부분에 있다. 따라서 문과는 배우지 않는다. 그리고 과거에도 문과는 확률과 통계(2009)에서 (표준)정규분포의 확률밀도함수를 서술하는 부분 이외에 자연로그의 밑에 대한 내용을 가지고 상세히 배운 적은 없었다. [30] '2. 친일파 이시팔 시팔 이시팔'로 외울 수 있다. 이과 고등학생이라면 적어도 [math(2.718)] 정도까진 외워두는 게 좋다. 값의 크기를 비교할 때 써먹어야 하기 때문. 이를테면 3, [math(e)], 2의 대소를 비교하라 할 때. [31] 한편 마찬가지로 원주율의 경우 통산 2034 이닝을 던져 710 자책점을 기록할 경우 3.1415929204가 되어 매우 근사해진다 #. [32] 예를 들어 정승제 강사의 강의 중. [33] 삼각함수는 [math(e)]를 밑으로 하는 지수함수의 꼴로 바꿀 수 있다. 다만 이렇게 바꾸려면 오일러 공식을 활용하는 복소함수적 접근을 해야 하지만.


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