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수학
상수 Mathematical Constants |
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[math(^\ast)] 초월수임이 증명됨. | ||||
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[math(1)] (곱셈의 항등원) |
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[math(\displaystyle \sqrt{2})] 2 的 平 方 根[1] | square root of 2 |
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| 명칭 | 루트 2, 제곱근 2 |
| 분류 | 무리수 |
| 근삿값 | 1.4 |
| 순서 | 1 / 2 |
| 제곱근 | [math(\footnotesize \pm \sqrt[4]{2})] (1.189207115) |
| 제곱 | 2 |
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1. 개요
제곱하면 2가 되는 무리수이다. 무리수라는 사실이 증명된 최초의 수이기도 하다. 1.4141414...같은 순환소수도 아니고 다른 규칙이 있는 무리수도 아닌데 어떻게 무리수인지 증명했는지는 아래 문단으로.한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이이며, 방정식 [math(x^2 = 2)]의 두 실수해 중 양수인 해다. 피타고라스 정리 문서로.
[math(\sqrt{2})]의 소수점 아래 50자리까지는 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694이다. 근삿값으로 [math(\dfrac{99}{70})]이 제시되는데, 이 값은 [math(1.4 \dot 14285 \dot 7)]로, 소수점 4자리까지 맞을 정도로 유사한 값이다.[2][3]
무한 지수 탑 함수에 넣으면 2가 된다.
2. 무리수 증명
유클리드(에우클레이데스)는 귀류법의 일종인 무한강하법을 이용하여 [math(\sqrt{2})]가 유리수가 아니라는 것을 증명했다.|
[math(\sqrt{2})]가 유리수라고 가정하면 [math(\sqrt{2} = \dfrac{a}{b})] (단, [math(a)], [math(b)]는 서로소인 자연수)로 나타낼 수 있다. 양변을 제곱하면 [math(2=\dfrac{a^2}{b^2})]이고, [math(2b^2=a^2)]이므로 [math(a^2)]은 짝수이다. 이때 자연수의 제곱이 짝수이면 제곱하기 전의 자연수도 짝수이므로 [math(a)]도 짝수이다. [math(a=2k)]라고 하고 이를 [math(2b^2=a^2)]에 대입하면 [math(2b^2=\left(2k\right)^2=4k^2)]이고, [math(b^2=2k^2)]이다. 따라서 [math(b^2)]은 짝수이고, 같은 방법으로 [math(b)]도 짝수이다. [math(a)]와 [math(b)]가 모두 짝수라는 것은 둘 다 공약수 2를 가지고 있다는 것이다. 이는 [math(a)], [math(b)]가 서로소라는 가정에 모순이므로 [math(\sqrt{2})]는 유리수가 아니다. |
이 문제는 과거 본고사 시절 서울대학교에서 출제되어 당시 학생들을 충격과 공포로 몰아넣은 적이 있다.[4] 하지만 그 뒤로 귀류법의 대표적인 예시로 소개되고 있어서 대한민국 학생에게는 나름 친숙한 증명법이 되었다.
2.1. 더 엄밀한 증명
다만 [math(\sqrt{2})]가 무리수임을 증명하기 위해서는 추가로 "[math(\sqrt{2})]는 실수이다."[5] 와 "유리수를 기약분수꼴로 나타낼 수 있다."라는 너무나 당연해 보이는 명제도 증명해야 한다.[6]첫 번째 명제는 아래와 같이 엄밀하게 증명한다. 대학교 수학과 2학년 해석학에서 배우는 증명이다.
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실수의 부분집합 [math(S=\left\{x\in \mathbb{Q} | x^2<2\right\})]를 정의하자. 그러면 [math(S)]는
공집합이 아니고 위로 유계이므로 상한 [math(c)]가 존재한다.[7] 이때 [math(0<c\notin S)]이므로 [math(c^2\geq 2)]이다. 그런데 [math(c^2>2)]라고 하면 [math(\left(c-\varepsilon\right)^2>2)]인 양수 [math(\varepsilon)]이 존재한다. 그러면 상한의 정의에 의해 [math(c-\varepsilon)]은 [math(S)]의 상계가 아니므로 [math(c-\varepsilon<x)]인 양의 유리수 [math(x\in S)]가 존재한다. 여기서 [math(2<\left(c-\varepsilon\right)^2<x^2)]가 되어 모순이다. 따라서 [math(c^2=2)]이고, [math(\sqrt{2})]가 실수임을 알 수 있다. [math(\sqrt{2})]가 유리수라고 가정하자. 그럼 [math(\displaystyle \sqrt{2} = \frac{a}{b})]를 만족하는 자연수 [math(a, b)]가 무수히 많이 존재한다. 집합 [math(A)]를 [math(\displaystyle A = \left\{b \in \mathbb{N} \, | \, \exists a \in \mathbb{Z}: \sqrt{2} = \frac{a}{b} \right\})]로 정의하자. 자연수의 well-ordering 원리에 의해 집합 [math(A)]에는 가장 작은 원소 [math(b_0)]가 존재한다. 그럼 적당한 정수 [math(a_0)]에 대해 [math(displaystyle sqrt{2} = frac{a_0}{b_0})]이다. 양변을 제곱하여 정리하면 [math(2{b_0}^2 = {a_0}^2)]이다. 여기서 만일 [math(a_0)]가 홀수라면 좌변은 짝수이고 우변은 홀수이므로 모순. 따라서 [math(a_0)]도 짝수여야 한다. 적당한 정수 [math(c)]에 대해 [math(a_0 = 2c)]라 하고 원래 식에 대입하면 [math({b_0}^2 = 2c^2)]이고 따라서 [math(b_0)]도 짝수이다. 이제 적당한 자연수 [math(n)]에 대해서 [math(b_0 = 2n)]라 하면 [math(\displaystyle \sqrt{2} =\frac{a_0}{b_0} = \frac{c}{n})]이다. 그런데 [math(n)]은 [math(A)]의 원소이고 [math(b_0)]보다 작다. 이는 [math(b_0)]가 가장 작은 원소라는 가정에 모순된다. 따라서 [math(\sqrt{2})]는 유리수가 아니다. |
두 번째 명제는 아래와 같이 엄밀히 증명한다. 대학교 수학과 3학년 현대대수학의 개념을 이용한다.
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산술의 기본정리에 의하여 정수환 [math(\mathbb{Z})]는
유일인수분해 정역(UFD)이므로, 임의의 정수 [math(a)], [math(b)]는
최대공약수 [math(d:=\mathrm{gcd}(a,b))]를 갖는다. 따라서 [math(a=da')]와 [math(b=db')]로 놓으면 [math(a')]와 [math(b')]는 서로소이다. 그리고 유리수체 [math(\mathbb{Q})]는 정수환 [math(\mathbb{Z})]의 분수체(field of fractions)이며, 윗줄의 표기법을 쓰면 [math(\mathbb{Q})] 위에서 [math((a,b)\sim (a',b'))]임을 쉽게 알 수 있다.[8] 여기에서 [math((a',b'))]는 기약분수이므로, 임의의 유리수 [math(\displaystyle \frac{a}{b})]는 약분하여 기약분수 [math(\displaystyle \frac{a'}{b'})]로 만들 수 있음이 증명되었다. |
유클리드보다 시대적으로 앞선 피타고라스 시대에도 [math(\sqrt{2})]가 유리수가 아니라는 것은 알고 있었을 것으로 추측되지만, 별다른 기록이 남아 있지 않다. 오히려 그런 수의 존재를 부정했다는 기록은 남아 있다.[9] 이와는 다르게 유클리드의 증명은 그의 저서 원론에 나와 있다.
고대 그리스보다 1000년 이상 앞선 기원전 1600~1800년 전 유물인 바빌로니아의 Ybc7289 점토판에는 대각선이 그어진 정사각형이 새겨져 있는데, 사각형 가운데에 60진법 쐐기 숫자가 몇 개 새겨져 있다. 가운데 윗 줄의 4개 숫자는 각각 1, 24, 51, 10으로, 60진법 소수로 1.24:51:10으로 해독된다. 10진법으로 환산하면 1.41421296...인데, 소수점 5자리까지 정확한 [math(\sqrt{2})]의 값이다. 이 외에도 다른 유물들을 통해 바빌로니아인들이 어떤 수의 제곱근을 근사하는 방식은 잘 알고 있었다는 것은 분명히 알 수 있지만[10] 바빌로니아인들이 무리수의 존재를 인식했거나, 유리수와 따로 분류했었는지는 알 수 없다.[11]
3. 여담
2011년에 일본의 한 회사원인 곤도 시게루라는 사람이 [math(\sqrt{2})]의 값을 소수점 이하로 1조 자리까지 계산하여 세계 신기록을 세운 바 있다. 이 사람은 원주율 계산 부문에서 세계 신기록을 달성한 전적도 있는데, 수학자도 아닌 일개 회사원이 이런 업적을 세웠기 때문에, 한동안 세간의 화제를 모은 바 있다.4. 여러 가지 분수 근삿값
당연하겠지만 분모와 분자의 크기가 클수록 평균적으로 정밀한 근사가 가능하다. 다만 [math(\dfrac{10000}{7071})]처럼 정밀성은 바로 전단계보다 떨어지지만 수치가 의미가 있어서 등재할 수도 있다. 이 문단에서는 분모가 1만을 넘거나 사족[12]은 쓰지 않는다.[math(\dfrac{3}{2})], [math(\dfrac{10}{7})], [math(\dfrac{17}{12})], [math(\dfrac{58}{41})], [math(\dfrac{99}{70})], [math(\dfrac{140}{99})], [math(\dfrac{577}{408})], [math(\dfrac{1000}{707})], [math(\dfrac{1393}{985})], [math(\dfrac{3363}{2378})], [math(\dfrac{8119}{5741})], [math(\dfrac{10000}{7071})]
[1]
적평방근
[2]
물론 99라서 상당히 불편해보인다. 하지만 이는 분자와 분모가 자연수인 분수로는 분자와 분모의 크기가 가장 작고([math(\dfrac{10}{7})]은 예외) √2에 가깝기 때문에 제시된 것이지 이보다 가깝게 하는 분수는 굳이 소수점 뒤에 숫자를 많이 쓰지 않아도 얼마든지 만들 수 있다. 굳이 분자를 10의 배수로 하겠다면 [math(\dfrac{10000}{7071})] 정도가 적당하다. 이 값은 1.41422712488으로 오히려 [math(\dfrac{99}{70})]보다도 √2의 값에 더 가깝다. 더 가깝게 하려면 소수점 뒤에 1도 아닌 07을 붙여야 할 정도로 가깝다. 거기에 차이가 약 0.00005858...이다.
[3]
A4용지의 가로세로 비이다.
[4]
당시 답안 중에는 "심각하게 생각해 보았는데 [math(\sqrt{2})]는 무리수이다." "아무리 생각해 보아도 [math(\sqrt{2})]는 무리수이다."같은 것도 있었다고 한다.(...)
#
[5]
정확히 말하면 실수 중에 2의 제곱근이 있다는 것을 증명해야 한다. 실수의 정의 자체가 유리수+무리수 이기 때문에 실수에 속한다는 것을 증명한다면 유리수가 아니라는 증명과 합쳐서 [math(\sqrt{2})]가 무리수라는 것을 도출할 수 있다.
[6]
간단하게, 위의 예시에서 [math(\sqrt{2})]를 허수 [math(i)]로 바꿔보자. [math(i)]가 무리수가 되는 기적(?)을 이끌어낼 수 있다. 유리수가 아닐 경우 무리수인 실수이거나 아니면 아예 실수가 아닐 텐데 저 증명에서는 유리수가 아니니 무리수라고 본 것이다.
[7]
위로 유계=상계, 집합 S의 모든 원소보다 크거나 같은 실수들. 상계 중 최솟값인 상계최소(=상한)가 존재한다. 상한 c는 집합 S의 모든 원소보다 크거나 같은 실수 중 가장 작은 실수이다.
[8]
물론 [math(b\neq 0)]이다.
[9]
널리 알려진 히파소스의 일화가 이에 해당한다.
[10]
너무 유명해 Babylonian method라는 이름까지 있는 방법이다. 방법만 알면 임의의 정수의 제곱근의 근삿값을 매우 빠르게 찾을 수 있다.
제곱근 문서로.
[11]
물론 그 당시에도 수에 대한 인식이 없었던 건 아니다. 단지 무리수는 비교적 최근에야 그 존재가 인식되었을 뿐이다.
[12]
예를 들어 [math(\dfrac{1000000000}{70710678})]같은 것들. 이런 것들까지 다 쓰면 [math(\dfrac{구골플렉시안(10의 10의 10의 100제곱)}{707106781186548..,})]도 나올 것이다.