|
수학
상수 Mathematical Constants |
|||||
|
{{{#!wiki style="margin: 0 -10px -5px; min-height: calc(1.5em + 5px)" {{{#!folding [ 펼치기 · 접기 ] {{{#!wiki style="margin: -5px -1px -11px" |
[math(^\ast)] 초월수임이 증명됨. | ||||
|
[math(0)] (덧셈의 항등원) |
[math(1)] (곱셈의 항등원) |
[math(sqrt{2})] (최초로 증명된 무리수) |
[math(495)], [math(6174)] ( 카프리카 상수) |
[math(0)],
[math(1)], [math(3435)], [math(438579088)] ( 뮌하우젠 수) |
|
|
[math(pi)] (원주율)[math(^\ast)] |
[math(tau)] (새 원주율)[math(^\ast)] |
[math(e)] (자연로그의 밑)[math(^\ast)] |
[math(varphi)] (황금수) |
[math(i)] (허수단위) |
|
|
[math(G)] (카탈랑 상수) |
[math(zeta(3))] (아페리 상수) |
[math({rm Si}(pi))] (윌브레이엄-기브스 상수) |
[math(gamma)] (오일러-마스케로니 상수) |
[math(gamma_n)] (스틸체스 상수) |
|
|
[math(Omega)] (오메가 상수)[math(^\ast)] |
[math(2^{sqrt{2}})] (겔폰트-슈나이더 상수)[math(^\ast)] |
[math(C_n,)] (챔퍼나운 상수)[math(^\ast)] |
[math(A,)] (글레이셔-킨켈린 상수) |
[math(A_k,)] (벤더스키-아담칙 상수) |
|
|
[math(-e, {rm Ei}(-1))] (곰페르츠 상수) |
[math(mu)] (라마누잔-졸트너 상수) |
[math(B_{2})], [math(B_{4})] (브룬 상수) |
[math(rho)] (플라스틱 상수) |
[math(delta)], [math(alpha)] (파이겐바움 상수) |
|
1. 내용
초월수의 하나로, 다음 방정식의 실수해이다.| [math(x e^x - 1 = 0)] |
[math(xe^x=1)]에서 양변에 자연로그를 취하고 이항해주면 위 식은 다음과 같이 자연로그와 일차함수의 방정식이 된다.
| [math(\ln x = -x)] |
그러나 이 해를 일반적인 방법[1]으로 기술하기가 매우 까다롭기 때문에, 역함수인 람베르트 [math(W)] 함수를 이용하는 방식으로 해를 나타낸다. 보통 [math(\Omega)]로 표기한다.
| [math(W ( 1 ) = \Omega)] |
위 방정식 [math(\ln x = -x)]에 오메가 상수를 대입하면 다음과 같은 성질을 얻는다:
| [math(\Omega = -\ln\Omega = \ln\dfrac1\Omega)] |
람베르트 [math(W)] 함수는 역함수인 [math(y = xe^x)]의 성질에 의해 음함수가 되기 때문에 [math(\Omega)]가 속하는 구간의 [math(W_0(x))]와 그렇지 않은 [math(W_{-1}(x))] 두 부분으로 나뉘는데 [math(W_0(x))]는 다음과 같이 매클로린 전개가 되는 것이 알려져 있고
| [math(\displaystyle \begin{aligned} W_0(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x-x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots\end{aligned})] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \Omega &= \sum_{n=1}^\infty\frac{(-n)^{n-1}}{n!} \\ &= 1 - 1 + \frac32 - \frac83 + \frac{125}{24} - \cdots\end{aligned})] |
구체적인 값은 다음과 같다. 0과 1 사이의 수에 속하며, 소수 배열을 보면 파인만 포인트와 비슷한 부분이 있다.
| 0.567 143 290 409 783 872 999 968 662 210 355 549 753 815 787 186 512 508 135 131 079 223 045 793 086 684 566 693 219 446 961 752 294 557 638... |
자연로그의 밑의 역수를 무한 지수 탑 함수에 넣어도 얻을 수 있다. 아래 수식에서 윗화살표 2개 [math(\uparrow\uparrow)]는 커누스 윗화살표 표기법이다.
| [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{e} \uparrow\uparrow x\right) = -\frac{W(-\ln(1/e))}{\ln(1/e)} = \Omega)] |