절댓값

수와 연산 Numbers and Operations
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1. 개요2. 대한민국 교육 과정에서3. 실수의 절댓값4. 복소수의 절댓값(|z|)5. 집합의 절댓값(|S|)6. 행렬의 절댓값(|A|)

1. 개요

絶對 값 / absolute value

쉽게 말하면 부호나 방향을 고려하지 않은 채로 측정한 어떤 값의 크기, 위상수학적으로 말하면 유클리드 거리공간에서의 노름.

'절대치'라고도 불린다. 절대값으로 부르던 시절이 있었으나 사이시옷 규정에 맞게[1] 절댓값으로 부르게 되었다.

기호인 [math(|\cdot|)]는 카를 바이어슈트라스가 도입했다.

2. 대한민국 교육 과정에서

중1 때 정수와 유리수 파트에서 처음 배우며, 중3ㆍ고1 때 제곱근과 연관지어서도 또 배우고, 고1 방정식 단원에 '절댓값 기호를 포함한 방정식'에도 나온다.

함수계의 적들 중 하나이다. 이른바 '가우스 기호'라고 불리는 최대 정수 함수가 2011학년도 대학수학능력시험 이후 사걱세의 영향으로 수능에 출제가 안 되면서, 일반 학생들을 괴롭히는 최고난도의 킬러 문제는 전부 절댓값 기호가 붙는 문제가 출제되고 있다. (예시 : 2024학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 미적분 28번) 절댓값 자체가 아주 난해하다고 보긴 어려우나 어떤 문제의 난해함을 배가시킬 순 있다.

3. 실수의 절댓값

원 개념은 ' 음수와 양수에 관계없이 수직선에서 원점으로부터의 거리로 나타내보자!'이다. 실제의 거리는 절대 음수로 나타낼 수 없으므로.[2][3]

[math(|\pm x| = x \, \mathrm{sgn}(x) = |x|\geq 0 )]

실수 [math(x)]에 대해

[math(x > 0)]이면 [math(x)]는 +가 되므로, [math(|x| = x)]

이 성질 때문에 절댓값은 멱등함수(idempotent function)이다.

[math(x < 0)]이면 [math(x)]는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서 [math(|x| = -x)]
[math(x＝0)]은 [math(x)]가 원점 자신인 자명한 경우로, [math(|x| = 0)][4]
원점을 제외한 모든 점에서 미분가능하다. 정의역 중 미분이 불가능한 점이 있으므로 매끄러운 함수는 아니다.

원점을 제외하면 도함수는 부호 함수(Signum function, [math(\mathrm{sgn})])다. 원점에서는 미분계수의 좌우극한이 달라서 정의가 안 된다.
분포(Distribution) 이론에서, 이계도함수는 디랙 델타 함수의 두 배이다.[5] 삼계도함수 이후부터는 디랙 델타 함수에 따옴표가 하나씩 추가된다.

역도함수는 부호함수가 곱해진 이차함수이다.[6] 이후 적분도 일반적인 다항함수 적분에 부호함수를 붙인 꼴이 된다. [7]
해석함수는 아니다. 매클로린 급수가 원점을 중심으로 부호가 반대이기 때문이다.

단, 푸리에 해석을 이용하면 아래처럼 전개 가능하다.
[math(\displaystyle |x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos [(2n-1)x]}{(2n-1)^2}\quad(-\pi < x < \pi))]
어디서 많이 본 수식인 것 같다면 그거 맞다.

실수의 경우 부호만 알면 쉽게 제거할 수 있다. 따라서 절댓값은 항상 0보다 크거나 같고, 0의 절댓값은 0이다.

중등 수학 1학년 1학기에서 처음 배우는 내용이며 처음 배울 때 왜 -x가 양수가 되는 경우가 존재하는지 이해하지 못하는 학생이 많다. -는 수의 부호를 바꿔주는 의미가 있다는 사실을 숙지하고 있으면, 음수에 -를 붙이면 양수가 된다는 사실을 쉽게 받아들일 수 있다. 마이너스 표시만 있다고 무조건 음수가 되는 게 아니다! 절댓값에 대해 쉽게 설명한 영상.

주로 나오는 유형은

함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) [math(y=|x^2+5x+6|)] 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0(x축)에 대칭이동 시킨다.
변수가 절댓값인 경우: 예) [math(y=|x|^2+5|x|+6)]에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0(y축)에 대칭이동 시킨다.
각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) [math(|x|+2|y|=4)] (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 (x, y)=(0, 0), 즉 원점에 대칭이동 시킨다.
절댓값 안이 다른경우: 예) [math(y=|x-5|+|x+5|)] 절댓값 안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. [math(x<-5)] 면 [math(-2x, -5<x≤5)] 면 [math(10, x≥5)] 면 [math(2x)]

함수 자체는 간단한 경우가 많으므로 그래프로도 쉽게 풀 수 있다. 실수가 정의역일 경우 그래프는 V자를 그리는 짝함수의 형태이다.

위의 모양은 y = |x|인데, 2007학년도 수능에서 이걸 평행이동시킨 그래프인 y = |x-1|을 주고 "대칭미분계수"를 물어봤다가 수많은 사상자를 양산한 바 있다.

수능 기출에도 종종 등장하는 등 절댓값은 중요하니 챙겨주자. 또 절댓값의 원리는 루트, 제곱에서도 등장하니 잘 알아두는 게 좋다.

4. 복소수의 절댓값(|z|)

이 '원점으로부터의 거리'라는 절댓값의 정의를 이용하여 복소수에도 절댓값을 도입할 수 있다. [math( z = a+bi )] ([math( i )]는 허수단위)꼴의 복소수는 복소평면상의 (a, b)라는 점으로 나타낼 수 있는데, 이 점과 원점 사이의 거리인 [math( \sqrt{ \Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{ a^2 + b^2} )] 이 복소수의 절댓값이 되는 것이다. 이 값은 [math(\sqrt{z\bar{z}} )]와 같다. [math( \bar{z} )]는 [math( z )]의 켤레복소수(complex conjugate) [math( a-bi )]이다.

단, 실수에서와 다르게 복소수에서의 절댓값 함수는 모든 복소수에서 미분가능하지 않다. 이는 [math(\bar{z})]라는 켤레복소수가 [math(z)]에 대해서 미분 가능한 함수가 아니기 때문이다.[8]

유색 복소평면에서는 위 그림처럼 시뻘건 톤의 원형 계조를 그린다. 밝기를 높이로 바꿔 보면, 옆에서 보면 원뿔을 뒤집어 원점 위에 놓은 형태가 된다. 즉, 위 문단의 V자 그래프는 복소평면에서의 그래프의 실수축 방향 절단면이라고 볼 수 있다.

5. 집합의 절댓값(|S|)

집합의 절댓값은 해당 집합에 딸려 있는 원소의 개수를 뜻하며, 기수(cardinality)라고도 한다. 무한집합에서도 성립하며, 이때는 초한기수라고 부른다. 중등교육과정에서는 [math(n(S))]로 표현한다.

6. 행렬의 절댓값(|A|)

행렬에도 절댓값을 정의할 수 있는데 이는 행렬식으로 나타낼 수 있다. 자세한 사항은 행렬식 문서로.

수의 절댓값이나 기수와는 달리, 행렬식의 값은 음수가 나올 수 있다. 음수가 나올 수 없는 것은 절댓값이 아니라 노름이다.

[1] 헷갈리는 경우가 많은데, '絕對'(한자어) + '값'(고유어)의 합성어이므로 사이시옷 규정에 부합한다. [2] 대표적인 예가 삼각함수의 사분면에 따른 삼각함수의 음수 양수 여부다. 비록 x 좌표값과 y 좌표값은 음수가 될 수 있지만, 그 빗변(다시 말해 분모)은 절대 음수가 될 수 없으므로 사분면에 따른 사인과 코사인의 음,양수가 다양하게 된다.(탄젠트는 x, y 좌표값에만 영향을 받는다.) [3] 실생활에서의 예를 들자면 이렇다. 대전역에서 옥천역까지의 거리는 부산 방향으로 16.2km, 신탄진역까지의 거리는 서울 방향으로 14.4km로 서로 반대 방향으로 떨어져 있다. 하지만 그렇다고 해서 이걸 -16.2km나 -14.4km와 같이 둘 중 하나를 음수로 적을 수는 없는 것과 같은 이치이다. [4] 그냥 부등호를 [math(0≤x)]와 [math(0>x)]로 나누는게 계산하기 편하다. [5] [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x| = \mathrm{sgn}(x), \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|x| = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sgn}(x) = 2\delta(x))] [6] [math(\displaystyle \int |x| \ \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \mathrm{sgn} \left( x \right) + C)] [7] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(\dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)] 또는 [math(\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{sgn}(x))] 이 된다. [8] 실수에서 미분이 가능한 것은, 복소축 방향으로의 미분을 고려하지 않아도 되기 때문이다.

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