삼차함수

초등함수 Elementary Functions
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1. 개요2. 도함수3. 역도함수4. 그래프

4.1. 개형

4.1.1. ①4.1.2. ②4.1.3. ③4.1.4. ④4.1.5. ⑤4.1.6. ⑥4.1.7. 총정리

4.2. 특정한 식의 그래프4.3. 변곡점

4.3.1. 파생 식

4.4. 직선과의 교점

4.4.1. 직선의 기울기가 0인 경우(기본)4.4.2. 직선의 기울기가 m인 경우(일반화)4.4.3. 직선의 기울기가 발산하는 경우

4.5. 임의의 점에서 그을 수 있는 접선의 개수4.6. 좌표 간 거리(개형 ① · 개형 ④)

4.6.1. x좌표 간 거리4.6.2. y좌표 간 거리(함숫값의 대소)

4.7. 평균변화율4.8. 실근의 절댓값4.9. 실근끼리의 계산 결과의 변화

4.9.1. 총정리4.9.2. 정확한 값

5. 역함수6. 복소평면7. 다변수함수8. 각종 공식9. 기타10. 관련 문서

1. 개요

三次函數 / cubic function

최고차항의 차수가 3인 다항함수. 따라서 모든 삼차함수는 다항함수이며, 식은 다음과 같다. 단, [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(d)]는 상수이다.

[math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \quad (a\neq 0))]

2. 도함수

삼차함수의 도함수는 다음과 같은 이차함수이다.

[math(f'(x)=3ax^2+2bx+c)]

3. 역도함수

삼차함수의 역도함수는 다음과 같은 사차함수이다. [math(\textsf{const.})]는 적분상수이다.

[math(\displaystyle \int f(x)\, {\rm d}x=\frac{ax^4}{4}+\frac{bx^3}{3}+\frac{cx^2}{2}+dx+\textsf{const.} )]

4. 그래프

4.1. 개형

이 문단은

【 <보기> 】: 증가할 때와 감소할 때의 그래프 모양이 같은 사인 곡선은 모양이 규칙적이지만 삼차함수의 그래프는 그런 식으로 그려서는 안 된다. 다만, 현 교육과정 상에 세세한 지침은 없기 때문에 그런 식으로 그렸다고 해서 불이익은 받지 않을 것이다.

삼차함수의 그래프의 개형은 아래와 같이 크게 여섯 가지가 있다. 다만 개형의 이름은 공인되는 명칭이 아닌, 설명의 편의를 위해 붙인 것이다.

개형 ①과 개형 ④는 증가할 때와 감소할 때의 모양이 다르다. 증가할 때와 감소할 때의 그래프 모양이 같은 사인 곡선은 모양이 규칙적이지만 삼차함수의 그래프는 그런 식으로 그려서는 안 된다. 다만, 현 교육과정에 세세한 지침은 없기 때문에 학교 시험에서 그런 식으로 그렸다고 해서 불이익은 받지 않을 것이다.

개형 ②와 개형 ③, 개형 ⑤과 개형 ⑥은 얼핏 같은 개형으로 보이지만 자세히 보면 변곡점에서의 접선의 기울기가 다르다. 개형 ②와 개형 ⑤는 기울기가 0, 개형 ③은 양수, 개형 ⑥은 음수이다.

한편, 최고차수가 홀수이므로 짝수 차수 항(상수항 포함)이 없는 경우 원점 대칭이다.

다음은 각 그래프의 개형에 해당하는 삼차식의 예시이다.

4.1.1. ①

개형 ①은 좌하와 우상으로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타난다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 음수이다. 왼쪽부터 급증, 완감, 급증한다. 다시 말해 감소하는 구간에서의 접선의 기울기의 절댓값은 증가하는 구간에서의 접선의 기울기의 절댓값보다 전반적으로 작다.

삼차함수 [math({y=f(x)})]의 그래프가 개형 ①이 되기 위한 조건은 아래와 같다.

[math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이다.

양수

아래로 볼록

방정식 [math(f'(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖는다.

0보다 크다

두 개

4.1.2. ②

개형 ②는 좌하와 우상으로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타나지 않는다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 0이다. 왼쪽부터 급증, 완증, 급증한다.

삼차함수 [math({y=f(x)})]의 그래프가 개형 ②가 되기 위한 조건은 아래와 같다.

[math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이다.

양수

아래로 볼록

방정식 [math(f'(x)=0)]이 중근을 갖는다.

한 개

[1]

4.1.3. ③

개형 ③은 좌하와 우상으로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타나지 않는다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 양수이다. 왼쪽부터 급증, 완증, 급증한다.

삼차함수 [math({y=f(x)})]의 그래프가 개형 ③이 되기 위한 조건은 아래와 같다.

[math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이다.

양수

아래로 볼록

방정식 [math(f'(x)=0)]이 실근을 갖지 않는다.

0보다 작다

없다

4.1.4. ④

개형 ④는 좌상과 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타난다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 양수이다. 왼쪽부터 급감, 완증, 급감한다. 다시 말해 증가하는 구간에서의 접선의 기울기의 절댓값은 감소하는 구간에서의 접선의 기울기의 절댓값보다 전반적으로 작다. 따라서 증가할 때와 감소할 때의 그래프 모양이 다르다.

삼차함수 [math({y=f(x)})]의 그래프가 개형 ④가 되기 위한 조건은 아래와 같다.

[math(f(x))]의 최고차항의 계수가 음수이다.

음수

위로 볼록

방정식 [math(f'(x)=0)]이 서로 다른 두 실근을 갖는다.

0보다 크다

두 개

4.1.5. ⑤

개형 ⑤는 좌상과 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타나지 않는다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 [math(0)]이다. 왼쪽부터 급감, 완감, 급감한다.

삼차함수 [math({y=f(x)})]의 그래프가 개형 ⑤가 되기 위한 조건은 아래와 같다.

[math(f(x))]의 최고차항의 계수가 음수이다.

음수

위로 볼록

방정식 [math(f'(x)=0)]이 중근을 갖는다.

한 개

[2]

4.1.6. ⑥

개형 ⑥은 좌상과 우하로 한없이 뻗어나가면서 위로 볼록한 부분과 아래로 볼록한 부분이 모두 나타나지 않는다. 변곡점에서의 접선의 기울기가 음수이다. 왼쪽부터 급감, 완감, 급감한다.

삼차함수 [math({y=f(x)})]의 그래프가 개형 ⑥이 되기 위한 조건은 아래와 같다.

[math(f(x))]의 최고차항의 계수가 음수이다.

음수

위로 볼록

방정식 [math(f'(x)=0)]이 실근을 갖지 않는다.

0보다 작다

없다

4.1.7. 총정리

위에서 밝힌 내용을 정리하면 아래와 같다.

<colbgcolor=#efefef,#555555>

도함수에 대한 방정식의 판별식이 0보다 크고, 도함수의 그래프가 [math(x)]축과 두 번 만남

도함수에 대한 방정식의 판별식이 0이고, 도함수의 그래프가 [math(x)]축과 한 번 만남(접함)

도함수에 대한 방정식의 판별식이 0보다 작고, 도함수의 그래프가 [math(x)]축과 만나지 않음

역도함수와 도함수의 최고차항의 계수가 양수
도함수의 그래프가 아래로 볼록
좌하와 우상으로 한없이 뻗어나감 ||
(개형 ①) ||
(개형 ②) ||
(개형 ③) ||

역도함수와 도함수의 최고차항의 계수가 음수
도함수의 그래프가 위로 볼록
좌상과 우하로 한없이 뻗어나감 ||
(개형 ④) ||
(개형 ⑤) ||
(개형 ⑥) ||

4.2. 특정한 식의 그래프

단, [math(a)], [math(b)], [math(c)], [math(k)]는 상수이다.

[1] [math(\boldsymbol{f(x)=k(x-a)(x-b)(x-c) \,\, (a \neq b \neq c)})]

삼차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,\,0))], [math((b,\,0))], [math((c,\,0))]에서 [math(x)]축과 만나면 삼차방정식 [math(f(x)=0)]이 서로 다른 세 실근 [math(a)], [math(b)], [math(c)]를 가지므로 함수식은 [math(y=k(x-a)(x-b)(x-c))]이다.

[2] [math(\boldsymbol{f(x)=k(x-a)^2(x-b) \,\, (a<b)})]

삼차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,\,0))], [math((b,\,0))]에서 [math(x)]축과 만나되 [math(x=a)]에서 [math(f(x))]가 [math(x)]축에 접하면 삼차방정식 [math(f(x)=0)]이 중근 [math(a)]와 단일근 [math(b)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)^2(x-b))]이다.

[3] [math(\boldsymbol{f(x)=k(x-a)(x-b)^2 \,\, (a<b)})]

삼차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,\,0))], [math((b,\,0))]에서 [math(x)]축과 만나되 [math(x=b)]에서 [math(f(x))]가 [math(x)]축에 접하면 삼차방정식 [math(f(x)=0)]이 중근 [math(b)]와 단일근 [math(a)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)(x-b)^2)]이다.

[4] [math(\boldsymbol{f(x)=k(x-a)^3})]

삼차함수 [math(f(x))]의 그래프가 [math(x)]축 위의 점 [math((a,\,0))]에서만 [math(x)]축과 만나되 [math(x)]축에 접하면 삼차방정식 [math(f(x)=0)]이 삼중근 [math(a)]를 가지므로 함수식은 [math(f(x)=k(x-a)^3)]이다.

4.3. 변곡점

변곡점은 두 번 미분가능한 함수에 대하여 함수의 그래프가 위로 볼록인 상태에서 아래로 볼록한 상태로 변하거나 그 반대로 변하는 점을 말하며, 해당 함수의 이계도함수가 [math(0)]이 되는 지점을 말한다. 삼차함수는 변곡점이 존재할 수 있는 최소 차수의 다항함수이다.

다만, 삼차함수의 도함수는 이차함수이고, 이차함수의 꼭짓점에서의 접선의 기울기가 [math(0)]이 되므로, 삼차함수에서는 도함수의 꼭짓점과 원시함수의 변곡점의 [math(x)]좌표가 같다. 아래는 위에서 제시한 개형들의 변곡점을 나열한 것이다.

위 그림에서 한눈에 알 수 있듯이, 곡선 [math(f(x))]의 접선의 기울기는 변곡점에서 최소 혹은 최대가 된다. [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이면 최소, 음수이면 최대인 것이다. 또한, 곡선 [math(\boldsymbol{f(x)})] 위에서 변곡점과 접선의 기울기가 같은 또 다른 점은 존재하지 않는다.

삼차함수 [math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)]의 변곡점의 [math(x)]좌표는, 앞서 밝혔듯이 [math(f''(x)=0)]이 되도록 하는 [math(x)]의 값이다.

[math(f''(x)=6ax+2b=0,\;x=-\dfrac{b}{3a})]

따라서 변곡점의 좌표는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\left(\displaystyle-\frac{b}{3a},\, f\left(\displaystyle-\frac{b}{3a}\right)\right))]

위의 모든 성질을 이용하여 삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 대칭임을 증명할 수 있다.

위 그림과 같이 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프를 고려하고, 그것의 도함수 [math(y=f'(x))]의 그래프를 고려하자. 삼차함수의 도함수는 이차함수이므로 꼭짓점 [math(\rm O)]에서 [math(x)]축에 평행한 [math(\overline{\rm PQ})]에 내린 수선의 발을 [math(\rm H)]라 하면, [math(\overline{\rm PH}=\overline{\rm QH})]가 성립한다.

한편, 위에서 밝혔듯 [math(y=f(x))]의 변곡점 [math(\rm N)]의 [math(x)]좌표는 도함수의 꼭짓점의 [math(x)]좌표와 같고, 도함수에서의 점 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]에 대응하는 삼차함수의 점은 각각 [math(\rm A)], [math(\rm B)]이다. 그런데 이차함수의 성질에 의하여 점 [math(\rm P)], [math(\rm Q)]에서 도함수의 함숫값은 일정하므로 [math(\rm A)], [math(\rm B)]에서 각각 그은 접선 [math(l)], [math(m)]은 기울기가 동일하다.

이번에는 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm N)]이 한 직선 위에 있는지 알아보기 위하여 [math(\overline{\rm AN})], [math(\overline{\rm BN})]의 기울기를 조사하자. 각각의 기울기를 [math(\Delta_{\rm A})], [math(\Delta_{\rm B})]라 하고, [math(\overline{\rm PQ}=2 \delta \,\,(\delta>0))]라 하면

[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta_{\rm A}&=\frac{f\left( -\dfrac{b}{3a}+\delta \right)-f\left( -\dfrac{b}{3a} \right)}{\delta} \\ \Delta_{\rm B}&=\frac{f\left( -\dfrac{b}{3a} \right)-f\left( -\dfrac{b}{3a}-\delta \right)}{\delta} \end{aligned} )]

[math(\displaystyle \Delta_{\rm A}= \Delta_{\rm B} )]이므로 [math(\rm A)], [math(\rm B)], [math(\rm N)]은 한 직선 위에 있다.

따라서 삼각형의 합동 등의 성질에 따라 [math(\overline{\rm AN}=\overline{\rm BN})]이 성립하며, 이에 따라 삼차함수의 그래프는 변곡점 대칭이다.

예제 [펼치기·접기]

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2016년 홋카이도대학 본고사 문과 1번

한국어 번역

실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 [math(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)]라 하자. 곡선 [math(C:\,y=f(x))]상의 서로 다른 두 점 [math({\rm P}(s,f(s)))] 및 [math({\rm Q}(t,f(t)))]가 있다.

[math(\rm P)]에서 [math(C)]에 그은 접선의 방정식을 구하라.
[math(\rm P)]에서 [math(C)]에 그은 접선과 [math(\rm Q)]에서 [math(C)]에 그은 접선이 평행하도록 하는 조건을 [math(s,\,t,\,a)]의 관계식으로 나타내어라.
(2)의 조건을 토대로, 선분 [math(\rm PQ)]의 중점이 [math(C)]상의 점이 됨을 보여라.

위 문제의 (2)와 (3)에서 삼차함수의 그래프의 대칭성에 대한 문제가 나온 바 있다. (2)의 답은 물론 다음과 같다.

[math(\dfrac{s+t}2=-\dfrac a3)]

(3)의 경우, 모든 삼차함수에 대하여 증명하는 것이 아니라 처음부터 [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 [math(1)]로 고정되어 있으므로 계산이 다소 간단해진다. 계산만 거치면 증명 자체는 어렵지 않다.

한편, 삼차함수의 그래프의 변곡점은 평균값 정리의 역의 반례이다. 자세한 설명은 아래의 '평균변화율' 문단을 참고하라.

4.3.1. 파생 식

삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프는 변곡점 [math((a, \, f(a)))]에 대하여 점대칭이므로,

[math(\displaystyle\frac{p+q}{2}=a \quad \to \quad \frac{f(p)+f(q)}{2}=f(a))]

이다. 다시 말해서 [math(x)]축에서 [math(p)]와 [math(q)] 가운데에 변곡점의 [math(x)]좌표 [math(a)]가 있으면, [math(y)]축에서는 [math(p)]와 [math(q)] 각각의 함숫값 [math(f(p))]와 [math(f(q))]의 가운데에 변곡점의 [math(y)]좌표 [math(f(a))]가 있다.

더 나아가, 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프의 변곡점을 [math((a, f(a)))]라고 하면 [math(\displaystyle f(a-x)+f(a+x)=2b)]이다.

위 그림과 같이 그래프를 [math(y)]축 방향으로 [math(-b)]만큼 평행이동하여 변곡점의 [math(y)]좌표를 [math(0)]으로 만들어 이해하면 좀 더 쉽다. 평행이동한 그래프의 변곡점 [math((a,\,0))]에서 [math(x)]축 방향으로 [math(t)]만큼 떨어진 [math((a-t,\,f(a-t)-b))]와 [math((a+t, \, f(a+t)-b))]를 생각하자. 그러면 [math(f(a-t)-b)]와 [math(f(a+t)-b)]의 가운데에는 다름 아닌 [math(0)]이 있을 것이다.

[math(\therefore\displaystyle\frac{\{f(a-t)-b\}+\{f(a+t)-b\}}{2}=0 \quad \to \quad f(a-t)+f(a+t)=2b)]

여기서 변수 [math(t)]를 [math(x)]로 바꾸면 처음의 식이 얻어진다.

이에 따라 다음이 성립한다.

변곡점의 [math(\boldsymbol x)]좌표가 [math(\boldsymbol 0)]

변곡점이 [math(y)]축 위에 있음
[math(a=0)]
[math(f(-x)+f(x)=2b)]

변곡점의 [math(\boldsymbol y)]좌표가 [math(\boldsymbol 0)]

변곡점이 [math(x)]축 위에 있음
[math(b=0)]
[math(f(a-x)+f(a+x)=0)]

변곡점이 원점

[math(a=b=0)]
[math(f(-x)+f(x)=0)]
[math(\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \,{\rm d}x = 0)]

변곡점이 원점인 경우의 특징은 모든 기함수(원점 대칭 함수)에 해당한다.

또한, 삼차함수의 그래프가 변곡점에 대하여 점대칭인 점을 이용하여, 변곡점의 좌표가 [math((p,\,q))]인 삼차함수의 그래프의 방정식은 다음과 같이 세울 수 있다.

[math(a(x-p)^3+b(x-p)+q)]

변곡점이 원점인 경우 기함수가 되고 방정식은 홀수 차수 항만을 갖는다. 따라서 [math(ax^3+bx)]로 세울 수 있다. 여기에서 [math(x)]축의 방향으로 [math(p)]만큼, [math(y)]축의 방향으로 [math(q)]만큼 이동한 것으로 생각하면 위와 같이 식을 세울 수 있는 것이다.

한편, 삼차함수 [math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)]에 대하여 다음이 성립한다.

삼차방정식 [math(f(x)=0)]의 근의 합( 근과 계수의 관계에 의하여 [math(-b/a)])은, [math(f(x))]의 그래프의 변곡점의 [math(x)]좌표([math(-b/3a)])의 3배와 같다.

근과 계수의 관계는 [math(n)]중근을 값이 같은 근 [math(\boldsymbol n)]개로 간주하여 계산하는 것임에 유의해야 한다. 예를 들어 방정식 [math(f(x)=0)]이 삼중근 [math(x=k)]를 가지면, 근과 계수의 관계로 계산한 근의 합은 [math(3k)]가 된다. 이러한 사실에 대한 기하학적 이해는 다항함수/공식 참고.

4.4. 직선과의 교점

4.4.1. 직선의 기울기가 0인 경우(기본)

먼저 직선의 기울기가 0인, 가장 단순한 경우를 고찰해 보자. 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 [math(x)]축의 교점의 개수를 구하는 것[3]으로, 이는 대수적으로 삼차방정식 [math(f(x)=0)]의 서로 다른 실근의 개수로 생각할 수 있다.

[1] [math(\boldsymbol{f(x)})]가 극값을 갖지 않음
이 경우 [math(f(x))]는 일대일대응이므로 다음과 같이 무조건 [math(x)]축과의 교점은 한 개만 발생한다.[4] 곧, 서로 다른 실근의 개수는 1이다.

[2] [math(\boldsymbol{f(x)})]가 극값을 가짐
이 경우 [math(f(x))]는 극값을 무조건 두 개 갖는다. 두 극점의 [math(x)]좌표를 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하면 다음과 같이 경우를 분류할 수 있다.

[math(f(\alpha)f(\beta)=0)]일 때는 삼차함수의 그래프의 개형상 [math(f(\alpha)=f(\beta)=0)]일 수는 없으며, 어느 한쪽의 값만 0이다. 삼차식 [math(f(x))]는 애초에 [math(f'(\alpha)=f'(\beta)=0)]이므로, [math(f(\alpha)=0)]이면 [math((x-\alpha)^2)]을, [math(f(\beta)=0)]이면 [math((x-\beta)^2)]을 인수로 갖는다. 따라서 [math(f(\alpha)=f(\beta)=0)]이면 삼차식 [math(f(x))]가 사차식 [math((x-\alpha)^2(x-\beta)^2)]을 인수로 갖는다는 것인데 이는 모순이므로 불가능한 것이다.

예제 [펼치기·접기]: ----
이러한 내용은 내신과 수능 공통으로 기본 문제로 많이 출제된다. 삼차방정식의 실근의 개수에 관한 문제는 대부분 삼차방정식을 직접 푸는 것이 아니라 위에서 설명한 대로 그래프를 그려서 교점의 개수를 세는 것이다. 이러한 유형의 문제들은 고등학교 수준에서 다루기 힘든 방정식을 내는 경우가 많으며, 대수학적 해법보다는 해석기하학적 해법을 다룰 줄 아는지를 본다. 그중에서 2003학년도 수능 인문계 29번을 소개한다.

이 역시 이 방정식을 직접 풀려고 해서는 안 된다. 문제의 방정식의 실근의 개수는, 곡선 [math(y=x^3-6x^2)]과 직선 [math(y=n)]의 교점의 개수와 같다. 따라서 곡선의 그래프를 그리자. [math(y=x^3-6x^2)]을 미분하면 [math(y=3x^2-12x=3x(x-4))]이므로 곡선의 극점은 [math(x=0)]과 [math(x=4)]에서 발생한다. 또한 곡선의 방정식에 이를 대입하면 각각 [math(y=0)], [math(y=-32)]가 된다. 곧, 다음과 같이 그릴 수 있다.

그러면 직선 [math(y=n)]은 직선 [math(y=0)]과 [math(y=-32)]의 사이에 있어야 교점의 개수가 3이 된다. 곧 [math(-32<n<0)]이며, 이를 만족시키는 정수의 개수는 31이다.

4.4.2. 직선의 기울기가 m인 경우(일반화)

최고차항의 계수가 [math(a)]인 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 직선 [math(y=mx+n)]의 교점의 개수를 구해 보자. 이때, 이 직선의 기울기 [math(m)]을 어느 한 값으로 고정한 채, [math(y)]절편 [math(n)]의 변화에 따른 교점의 개수의 변화를 검토해 보자. 단, 곡선 [math(f(x))]의 변곡점에서의 접선의 기울기를 [math(m')]이라 하자.

분석에 앞서 중요한 사실들을 정리하자. 바로 위 문단의 내용이 시사하는 바는 이렇다. 삼차함수의 그래프와 직선의 교점이 두 개이면, 두 그래프는 한 점에서 접한다는 것이다. 이 직선의 기울기를 유지한 채 [math(y)]절편만을 변화시키면, 이 직선은 평행이동하며 다음 그림과 같이 교점의 개수가 바뀐다.

그래서 삼차함수의 그래프와 접선의 교점이 두 개이면, 삼차함수의 그래프와 직선의 교점의 개수는 접선을 경계로 바뀐다고 할 수 있다.

예제 [펼치기·접기]: ----
이렇게 삼차함수의 그래프와 직선의 교점이 두 개인 경우는 종종 문제에 응용되는데, 2020학년도 수능 나형 30번에서 특히 직접적으로 출제되었다.

(가)와 (나)는 모두 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프와 직선의 교점이 두 개임을 알려주고 있다. 다시 말해서 곡선 [math(f(x))]는 직선 [math(y=x)]와 한 점에서 접하고 한 점에서 교차하며, 직선 [math(y=-x)]와도 그러하다. 실제로 그래프는 다음과 같다.

위 그림과 같이 직선 [math(y=x)]와 [math(y=-x)]는 곡선 [math(f(x))]의 접선이며, [math(f(0)=0)]이기 때문에 이 두 접선의 교점 [math((0,0))]이 곡선 [math(f(x))] 위에 있는 것이다. 참고로 [math(f(x)=\frac{32}{9}x^{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)+x)]이며, 답은 [math(f(3)=51)]이다.

한편, 삼차함수의 그래프와 접선의 교점이 항상 두 개인 것은 아닌데, 그것은 다름 아닌 유일한 교점이자 접점이 변곡점인 경우이다. 이 경우 위 그림과 같이 직선을 평행이동시켜도 교점의 개수는 변함이 없다. 이 사실들을 상기하며 분석해 보자.

먼저 [math(a>0)]인 경우를 보자. 이때, 곡선 [math(f(x))]를 우선 다음과 같이 극점이 두 개인 개형으로 그리자. 바로 위의 그림들을 보면 직관적으로 알 수 있듯이, 일대일대응으로 그리더라도 어차피 결론은 같다.

[math(m>0)]이면, 직선은 우상향한다. 그림과 같이 직선이 어느 한 점에서 접하는 경우가 두 번 있다. 이 경우의 [math(y)]절편을 작은 순서대로 [math(p)], [math(q)]라 하자. 그러면 위 그림을 보듯이, 기하학적으로 교점의 개수는 다음과 같이 바뀐다.

[math(\begin{cases}1\quad(n<p)\\2\quad(n=p)\\3\quad(p<n<q)\\2\quad(n=q)\\1\quad(n>q)\end{cases})]

[math(m=0)]이면, 직선은 상수함수의 그래프가 되어 우상향하지도 우하향하지도 않는다. 그래서 극소점과 극대점에서 접하는 경우의 [math(y)]절편이 각각 [math(p)], [math(q)]가 된다. 그러면 바로 위 문단에서 살펴본 것과 같이 교점의 개수는 다음과 같이 바뀐다.

[math(\begin{cases}1\quad(n<p)\\2\quad(n=p)\\3\quad(p<n<q)\\2\quad(n=q)\\1\quad(n>q)\end{cases})]

이는 [math(m>0)]인 경우와 정확히 같은 결과이다.

[math(m'<m<0)]이면, 직선은 우하향한다. 이 경우에도 직선이 곡선 [math(f(x))]에 접하는 경우가 두 번 있으므로, [math(m>0)], [math(m=0)]인 경우와 마찬가지로 교점의 개수는 다음과 같이 바뀐다.

[math(\begin{cases}1\quad(n<p)\\2\quad(n=p)\\3\quad(p<n<q)\\2\quad(n=q)\\1\quad(n>q)\end{cases})]

[math(m=m')]이면, 위 그림과 같이 직선이 곡선 [math(f(x))]에 접하는 경우가 변곡점밖에 없다. 곡선 위에서 변곡점과 접선의 기울기가 같은 또 다른 점은 존재하지 않기 때문이다. 따라서 위 경우들과는 다르게 교점의 개수는 [math(1)]로 일정하다.

[math(m<m')]이면, 직선은 곡선 [math(f(x))]에 접할 수 없다. [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수일 때, 접선의 기울기는 변곡점에서 최솟값 [math(m')]을 갖기 때문이다. 이 경우 기하학적으로 위 그림과 같이 교점의 개수가 [math(1)]로 일정하다.

지금까지는 [math(a>0)]인 경우를 살펴 보았는데, [math(a<0)]인 경우는 어떨까? 이 경우 교점의 개수는 다음과 같이 바뀐다.

[math(a>0)]인 경우와 모양만 반대일 뿐 근본적인 논리는 같다. 이상을 요약하면 직선의 [math(y)]절편이 증가함에 따라 교점의 개수는 다음과 같이 바뀐다고 할 수 있다.

[math(\begin{cases}1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1\quad&(m>m',\,a>0)\\1\quad&(m\leq m',\,a>0)\\1\quad&(m\geq m',\,a<0)\\1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1\quad&(m<m',\,a<0)\end{cases})]

이는 다음과 같이 더욱 간단히 나타낼 수 있다.

[math(\begin{cases}1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1\quad&(am>am')\\1\quad&(am\leq am')\end{cases})]

중요한 구분점은 직선이 삼차함수의 그래프에 접할 수 있는지이다. 삼차함수의 최고차항의 계수가 양수이면 접선의 기울기는 [math(m')] 이상, 음수이면 [math(m')] 이하가 되므로, 직선의 기울기가 이와 같은 범위에 속하지 않으면 두 그래프는 접할 수 없으며, 따라서 교점의 개수는 2가 될 수 없다.[5] 그 이외의 경우에는 위 그림에서 보듯이 두 그래프가 접하는 경우가 두 번 발생하므로 교점의 개수는 [math(1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1)]로 바뀌어 가는 것이다.

예제 [펼치기·접기]: ----
이러한 내용은 2018학년도 9월 고3 나형 20번에 출제되었다.

먼저 ㄱ을 보자. [math(f(x)=x^3)]이면 최고차항의 계수가 양수이고 변곡점은 [math((0,0))]이며 이때의 접선의 기울기는 [math(0)]이다. 한편 직선의 기울기는 [math(-1)]로, 변곡점에서의 접선의 기울기 [math(0)]보다 작다. 결론적으로 교점의 개수는 [math(t)]의 값에 관계없이 [math(1)]이다. 실제로 그래프를 그려보면 다음과 같이 교점의 개수는 무조건 [math(1)]이다. 곧, [math(g(t)=1)]이므로 [math(g(t))]는 상수함수가 된다.

ㄴ을 보자. 이는 간단히 말해서, '교점의 개수가 [math(2)]인 경우가 있으면 [math(3)]인 경우도 있다'는 뜻이 된다. 위에서 살펴본 결과 교점의 개수는 [math(1\rightarrow2\rightarrow3\rightarrow2\rightarrow1)]로 변화하거나 [math(1)]로 일정하므로, 이 명제는 참이다. [math(g(1)=2)]라는 식에서, [math(t)]에 대입한 값 [math(1)]은 전혀 중요하지 않으며, 교점의 개수인 [math(g(t))]의 값이 [math(2)]라는 사실이 중요함을 이해해야 한다. 요컨대 [math(1)]을 다른 실수로 대체해도 명제의 진위나 출제 의도는 그대로라는 것이다.

ㄷ을 보자. [math(g(t))]가 상수함수라는 것은 곧 교점의 개수가 [math(1)]로 일정하다는 뜻이다. 그런데 위에서 살펴본 바에 따르면, 이는 변곡점에서의 접선과 직선의 기울기의 대소 관계 그리고 최고차항의 계수의 부호와 관련이 있지, 극값의 유무와는 전혀 관련이 없다.

앞서 살펴본 그림을 다시 보자. 극값이 있든 없든, 교점의 개수가 일정하도록 하여 [math(g(t))]를 상수함수로 만들 수 있는 것이다. 따라서 답은 ③이다.

당시 정답률은 34%로 객관식 문제치고는 상당히 낮았는데, [math(t)]의 값이 변함에 따라 직선 [math(y=-x+t)]를 평행이동시켜도 교점의 개수가 변하지 않으려면, [math(f(x))]가 극값을 갖지 않는 일대일대응이어야 한다는 잘못된 직관에 속아 넘어간 학생들이 많았다. ~~물론 합답형 믿찍5에 당한 허수들도 많았다~~

4.4.3. 직선의 기울기가 발산하는 경우

다시 말하면 [math(x)]축에 수직인 직선 [math(x=a)]과의 교점을 생각할 수 있는데, 이 경우 교점이 [math((a,\,f(a)))]로 유일하게 결정됨은 자명하다. 이는 수직선 판정법(vertical line test) 그 자체로서, 함수는 하나의 [math(x)]값에 하나의 [math(y)]값만이 대응해야 한다는 뜻이다.[6] 다음 그림을 참고하자. [math(a)]의 값에 관계없이 교점의 개수는 1이다.

4.5. 임의의 점에서 그을 수 있는 접선의 개수

임의의 점에서 삼차함수의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수는 그래프의 개형에 관계없이 아래와 같다. 글로 된 설명을 외우려 하지 말고, 직접 아무 곳에나 점을 찍고 접선을 그어 보면서 그을 수 있는 접선의 개수를 확인하면 된다.

변곡점에서 [math(1)]
변곡점에서의 접선과 삼차함수의 그래프보다 모두 아래에 있거나 모두 위에 있는 점에서 [math(1)]
변곡점을 제외한 삼차함수의 그래프 위의 점에서 [math(2)]
변곡점을 제외한 변곡점에서의 접선 위의 점에서 [math(2)]
변곡점에서의 접선과 삼차함수의 그래프의 위아래로 사이에 있는 점에서 [math(3)]

개형 ①의 경우

따라서 좌표평면 위의 어느 점에서건 임의의 삼차함수의 그래프에 적어도 하나 이상의 접선을 그을 수 있다.

한편, 변곡점의 [math(x)]좌표의 부호에 따라 접선의 개수를 결정하는 범위는 달라진다고 할 수 있다. 이 말을 쉽게 이해하기 위해 다음 그림을 보자.

그림의 세 수직선 [math(\rm(a))], [math(\rm(b))], [math(\rm(c))]는 [math(y)]축을 나타내며, 검은색 점들은 곡선과 직선의 [math(y)]절편을 나타낸다. [math(\rm(a))]와 같이 [math(y)]축이 변곡점보다 왼쪽에 있는 경우와, [math(\rm(c))]와 같이 오른쪽에 있는 경우는, 둘 다 곡선과 직선 사이에 점이 존재할 때 접선을 3개 그을 수 있는 것은 맞지만 [math(\rm(a))]는 접선이, [math(\rm(b))]는 삼차함수의 그래프가 더 위에 있다는 점에서 대소 관계에서 차이가 발생한다. 한편, [math(\rm(b))]와 같이 변곡점이 아예 [math(y)]축 위에 있으면, [math(y)]축 위의 점에서는 접선을 3개 그을 수 없다.

한편, 대수학적으로는 접선의 개수는 방정식의 실근의 개수와 관련이 있다.

임의의 점 [math((a,\,b))]를 지나는 접선이 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 점 [math((t,\,f(t)))]에서 접한다고 하면, 두 점 [math((a,\,b))]와 [math((t,\,f(t)))]를 지나는 직선의 기울기는 [math((t,\,f(t)))]의 순간변화율 [math(f'(t))]와 같다. 따라서 다음과 같이 [math(t)]에 대한 방정식을 세울 수 있다.

[math(\dfrac{f(t)-b}{t-a}=f'(t))]

이 방정식의 근의 개수가 곧 점 [math((a,\,b))]에서 삼차함수의 그래프에 그을 수 있는 접선의 개수이다. 식을 변형하면

[math(f(t)-f'(t)(t-a)-b=0)]

이라는 삼차방정식이 된다. 이 방정식의 근의 개수는 또 다시 [math(y=f(t)-f'(t)(t-a)-b)]의 그래프와 [math(x)]축의 교점의 개수와 같은데, 삼차함수의 그래프는 무조건 위아래로 한없이 뻗어나가기에 [math(\boldsymbol x)]축과 적어도 한 번은 만날 수밖에 없다. 곧, 어떤 점에서든 접선을 하나 이상 그을 수 있다.

다만, 점 [math((a,\,b))]가 [math(f(x))]의 그래프 위에 있다면 [math(f(a)=b)]이므로 나머지 정리에 의하여 일차식 [math(t-a)]는 삼차식 [math(f(t)-b)]의 인수이다. 이 삼차식을 이 일차식으로 나눈 몫이 되는 이차식을 [math(Q(t))]라 하면 위 방정식은

[math(Q(t)=f'(t))]

라는 이차방정식이 된다. 이 이차방정식이 실근을 갖지 않으면 [math((a,\,b))]는 변곡점이고 접선의 개수는 [math(1)]이다. 중근을 가지면 [math((a,\,b))]에서 그을 수 있는 접선의 개수는 2이다. 서로 다른 두 실근을 가질 수는 없다. 곧, 삼차함수의 그래프 위의 점에서는 접선을 세 개 긋지는 못한다.

예제(기본) [펼치기·접기]

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2015학년도 10월 A형 29번

위 그림에서 어두운 부분이 바로 (가)를 만족시키는 영역이며, 그중에서 직선 [math(x=-4)] 위의 점에서 접선을 그어야 한다. 직선 [math(x=-4)]를 빨간색 부분, 초록색 부분, 주황색 부분, 점 [math((-4,0))], 점 [math((-4,4))]로 나누면 접선의 기울기의 곱은 다음과 같다.

빨간색 부분: 기울기가 양수인 접선 1개, 음수인 접선 2개 → 곱은 양수
초록색 부분: 기울기가 양수인 접선 2개, 음수인 접선 1개 → 곱은 음수
주황색 부분: 기울기가 양수인 접선 3개 → 곱은 양수
점 [math(\boldsymbol{(-4,0)})]: 기울기가 양수인 접선 2개, 0인 접선 1개 → 곱은 0
점 [math(\boldsymbol{(-4,4)})]: 기울기가 양수인 접선 1개, 기울기가 음수인 접선 1개, 기울기가 0인 접선 1개 → 곱은 0

즉, 초록색 부분만이 (가)와 (나)를 모두 만족시키며, 이에 대한 [math(a)]의 범위는 [math(0<a<4)]이므로 정수 [math(a)]의 최댓값은 [math(3)]이다. 따라서 정답은 [math(3^2=9)]이다.

파일:2019학년도 경찰대 수학 17번

위 그림에서 [math((0,1))]이 바로 곡선 [math(y=x^3+1)]의 변곡점이며, 이 점에서의 접선은 [math(y=1)]이다. 따라서 색칠된 영역에서 접선을 세 개 그을 수 있다. 이때 [math(0\leq a\leq1)]이므로 더 어두운 부분만이 문제의 조건을 만족시킨다. 이 부분의 넓이는 다음과 같다.

[math(\displaystyle\int_0^1\{(x^3+1)-1\}\,{\rm d}x=\frac14)]

2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 68쪽 4번

위 그림에서 보듯이 곡선 [math(y=x^3-3x)]의 변곡점은 원점이며, 변곡점에서의 접선의 방정식은 [math(y=-x)]이다. 따라서 함수 [math(f(a))]는 [math(a=0)] 그리고 [math(a=-1)]에서만 바뀌므로 정답은 [math(0+(-1)=-1)]이다.

실제 수능특강에서는 다음과 같은 해설을 제시했는데, 접선의 개수를 구하기 위하여 방정식을 세우고 그 실근의 개수를 구하는 과정이 번거롭다. 그러나 공식을 알고 있으면 변곡점에서의 접선의 방정식만 구하면 이후의 계산은 많지 않다.

파일:2024학년도 EBS 수능특강 수학Ⅱ 68쪽 4번 수특 해설.jpg

예제(심화) [펼치기·접기]

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2019학년도 7월 나형 21번

[math(f(t))]는 점 [math((0,\,t))]에서 곡선 [math(y=x^3-ax^2+3x-5)]에 그을 수 있는 접선의 개수를 뜻한다. 위에서 살펴본 내용에 따라 접선의 개수를 분석해 보자. 접선의 개수는 삼차함수의 그래프(이하 곡선)와 변곡점에서의 접선(이하 직선)으로 결정되는 구획에 따라 달라진다. 따라서 점 [math((0,\,t))]가 어느 구획에 있는지를 알아야 하는데, 그러기 위해서는 직선과 곡선의 [math(y)]절편을 구하여, [math(t)]와 대소를 비교하면 된다. 이때, 위에서 밝힌 대로 변곡점의 [math(x)]좌표의 부호 역시 중요하므로 이를 알아야 한다. 변곡점의 [math(x)]좌표는 앞서 밝힌 공식을 사용하면

[math(-\dfrac{-a}{3\times1}=\dfrac13a)]

이며, [math(a)]는 자연수이므로 이는 양수가 된다. 또한 곡선의 방정식을 [math(h(x))]라 하면 직선의 방정식은

[math(h'\left(\dfrac13a\right)\left(x-\dfrac13a\right)+h\left(\dfrac13a\right))]

이므로 직선의 [math(y)]절편은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}-\dfrac13ah'\left(\dfrac13a\right)+h\left(\dfrac13a\right)&=-\dfrac13a\left(-\dfrac13a^2+3\right)+\dfrac1{27}a^3-\dfrac19a^3+a-5\\&=\dfrac1{27}a^3-5\end{aligned})]

한편 곡선의 [math(y)]절편은 [math(h(0)=-5)]이다. 어느 한 [math(a)]의 값에 대하여 이 사실을 그림으로 나타내면 다음과 같다.[7]

변곡점의 [math(x)]좌표 [math(a/3)]가 양수이므로 [math(y)]축은 변곡점보다 왼쪽에 있으며, [math(f(t))]의 값은 곡선의 [math(y)]절편 [math(-5)]와 직선의 [math(y)]절편 [math(a^3/27-5)]를 경계로 바뀐다. 따라서 [math(f(t))]의 그래프는 다음과 같다.

[math(a)]가 자연수이므로 [math(a>0)]임을 이용하면 [math(-5<a^3/27-5)]임을 알 수 있으며, 기하학적으로는 변곡점의 왼쪽에서 직선이 곡선보다 항상 위에 있으므로 [math(a)]의 값에 관계없이 [math(-5)]가 더 작음을 알 수 있다.

참고로, (가)와 (나)를 이용하면 [math(m=7)], [math(g(t)=3)]임이 도출되어 정답은 [math(m+g(m)=10)]이 된다.

2019년 7월 모의고사를 출제한 인천광역시교육청에서는 다음과 같은 대수학적 해설을 제시했는데, 변수를 [math(a)], [math(t)], [math(k)] 이렇게 세 개나 다뤄야 하기 때문에 다소 번거롭다.

4.6. 좌표 간 거리(개형 ① · 개형 ④)

4.6.1. x좌표 간 거리

이번에는 함숫값이 같은 점들의 [math(x)]좌표를 살펴보자. 다시 말해 임의의 서로 다른 실수 [math(a)], [math(b)], [math(c)]에 대하여 [math(f(a)=f(b)=f(c))]이다. 먼저 [math((a,\, f(a)))]와 [math((b,\, f(b)))]를 살펴보자. [math(y=f(x))]의 그래프의 개형은 급증, 완감, 급증하므로, [math((t,\, f(t)))]에서 왼쪽은 빨리 떨어지고 오른쪽은 살살 떨어지니까, 같은 [math(\boldsymbol{y})]좌표까지 떨어지기 위해서는 살살 떨어지는 쪽이 빨리 떨어지는 쪽보다 [math(\boldsymbol{x})]축 방향으로 더 멀리 가야 한다는 말이다. 마찬가지로 [math((s,\, f(s)))]에서 왼쪽은 살살 올라가고 오른쪽은 빨리 올라가니까, 같은 [math(\boldsymbol{y})]좌표까지 올라가기 위해서는 살살 올라가는 쪽이 빨리 올라가는 쪽보다 [math(x)]축 방향으로 더 멀리 가야 한다는 말이다. [math(x)]좌표 간의 거리는 곧 차(差)이므로, 이상의 결론을 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned} |t-a|&<|t-b| \\ |s-b|&>|s-c| \end{aligned})]

한편, 개형 ④ 역시 모양이 반대일 뿐, 똑같은 논리를 전개하면 된다.

삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 이러한 성질을 특별한 계산 없이 기하학적으로 이해할 수도 있다. 다항함수/공식 참고.

한편, 위 그림과 같이 극값이 두 개인 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프 위에 있는 [math(y)]좌표가 같은 두 점의 [math(x)]좌표 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]를 순서쌍으로 하여 다음의 집합을 정의하자.

[math(S=\{(\alpha,\,\beta)|\beta-\alpha=m>0,\,f(\alpha)=f(\beta)\})]

곧, 집합 [math(S)]는 [math(f(x))]의 그래프 위에서 [math(y)]좌표가 같은 두 점의 [math(x)]좌표의 차가 [math(m)]인 경우의 집합이다. 위 그림처럼 변곡점을 지나고 [math(y)]축에 수직인 직선과 곡선 [math(f(x))]의 교점 중 양 끝 것을 이은 선분의 길이를 [math(l)]이라 하면, 이 집합의 원소의 개수는 다음과 같다.

[math(n(S)=\begin{cases}2\quad&(0<m<l)\\1\quad&(m=l)\\0\quad&(m>l)\end{cases})]

곧, 집합 [math(S)]의 원소가 존재하도록 하는 [math(m)]의 최댓값은 [math(l)]이며, 원소가 존재하면 그 개수는 [math(m=l)]일 때만 1개이며 나머지 경우에는 항상 2개이다. 다시 말해서, 극값이 두 개인 삼차함수의 그래프 위의 두 점이 [math(y)]좌표가 같으려면, 두 점의 [math(x)]좌표의 차 [math(m)]은 [math(l)] 이하여야 한다. 또한, [math(y)]좌표가 같은 두 점의 [math(x)]좌표의 차가 [math(l)]보다 크면, 두 점은 함께 곡선 [math(f(x))] 위에 있을 수 없다.

증명 [펼치기·접기]

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우선 가능한 모든 경우를 위 그림 [math(\rm(a))], [math(\rm(b))], [math(\rm(c))]와 같이 표현할 수 있다. 각 선분의 양 끝은 점으로 표시되어 있으며, 각 그림에서 색이 같은 선분끼리는 길이가 같다. 삼차함수의 그래프는 변곡점 대칭이므로, 하나의 [math(m)]의 값에 대하여 두 선분이 변곡점 대칭으로 나타나며, 위 그림에 표현된 것 이외에는 다른 경우가 존재하지 않는다. 유일하게 경우의 수가 1인 것은 [math(\beta-\alpha=l)]일 경우로, 그림 [math(\rm(c))]의 보라색 선분이다. 이 경우 이 선분 자체가 변곡점에 대하여 대칭이므로, 이에 대응하는 또 다른 선분이 존재하지 않는 것이다.

이제 위 그림에서 선분의 길이의 최댓값이 [math(l)]임을 밝히자. 이를 엄밀히 증명하는 일은 매우 복잡하기 때문에 여기에서는 상당히 직관적이고 초등적인 방법으로 증명하며, 어느 정도 자명한 사실은 곧바로 받아들이기로 한다.[8]

먼저 그림 [math(\rm(a))]에서는 보라색 선분이 최장이며, 그림 [math(\rm(b))]에서는 보라색 선분이 오히려 최단이며 빨간색 선분이 최장이다. 여기까지는 문제가 되지 않지만, 눈으로 금세 장단을 구별하기 어려운 부분은 그림 [math(\rm(c))]일 것이다. 여기에서 한 가지 직관적인 논법을 도입하자. 그림 [math(\rm(c))]에서, 맨 아래 선분에서 맨 위 선분으로 선분이 이동한다고 생각해 보자. 선분의 양 끝 점은 그림과 같이 항상 곡선 [math(f(x))] 위를 움직인다고 하자. 그러면 선분의 길이는 양 끝 점의 [math(x)]좌표의 변화에 따라 결정될 것이다. 선분의 길이 [math(m)]은 양 끝 점의 [math(x)]좌표의 차 [math(\beta-\alpha)]이기 때문이다. 이때, [math(\beta-\alpha=m)]이라는 수식에서 알 수 있듯이, [math(\alpha)]가 작아질수록 그리고 [math(\beta)]가 커질수록 [math(m)]은 커진다. 그런데 위 그림을 보면 [math(\alpha)]와 [math(\beta)]는 동시에 커지고 있다. 그러면, 다름 아닌 '커지는 속력'의 차이에 따라 선분의 길이가 변화하는 것이다. 오른쪽 점이 왼쪽 점보다 커지는 속력이 빠를 때 선분은 길어진다. 이 '커지는 속력'은 다시 접선의 기울기로 나타낼 수 있다. 오른쪽으로 동일한 거리를 움직이더라도 접선의 기울기가 클수록 도착하기까지 시간이 오래 걸리기 때문이다.[9] [math(\alpha)]와 [math(\beta)]의 커지는 속력을 각각 [math(v_\alpha)], [math(v_\beta)]라 하면 이를 다음과 같이 요약할 수 있다.

선분의 길이 [math(\beta-\alpha=m)] 감소

[math(v_\alpha>v_\beta)]: 왼쪽 점이 오른쪽 점보다 오른쪽으로 빨리 이동
[math(f'(\alpha)<f'(\beta))]: 왼쪽 점이 오른쪽 점보다 접선의 기울기가 작아서, 위로는 올라가기 어려울지언정 오른쪽으로 이동하기 쉬움

선분의 길이 [math(\beta-\alpha=m)] 불변

[math(v_\alpha=v_\beta)]: 왼쪽 점과 오른쪽 점이 동일한 속력으로 이동
[math(f'(\alpha)=f'(\beta))]: 왼쪽 점과 오른쪽 점이 접선의 기울기가 같아서, 오른쪽으로 이동하는 정도도 동일

선분의 길이 [math(\beta-\alpha=m)] 증가

[math(v_\alpha<v_\beta)]: 왼쪽 점이 오른쪽 점보다 오른쪽으로 천천히 이동함
[math(f'(\alpha)>f'(\beta))]: 왼쪽 점이 오른쪽 점보다 접선의 기울기가 커서, 위로는 올라가기 쉬울지언정 오른쪽으로 이동하기 어려움

이제 다시 그림 [math(\rm(c))]를 보자. 중요한 것은 양 끝 점에서의 접선의 기울기의 대소 비교이므로, 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

빨간색 영역에서는 왼쪽이 오른쪽보다 접선의 기울기가 급하므로 오른쪽 점이 왼쪽 점보다 더욱 빨리 오른쪽으로 이동한다. 곧, 선분은 길어진다. 주황색 영역에서는 양쪽의 접선의 기울기가 일치하므로, 이 순간 선분의 길이는 변화하지 않는다. 초록색 영역에서는 빨간색 영역과는 정반대의 현상이 나타나므로 선분은 짧아진다. 따라서 선분은 주황색 영역, 곧 가운데에서 최장, 맨 위와 맨 아래에서 최단이다. 주황색 영역에서 양쪽의 접선의 기울기가 같다는 사실과, 맨 위와 맨 아래에서 선분의 길이가 같다는 사실은, 삼차함수의 그래프의 대칭성을 통해서 쉽게 알 수 있다. 나아가 선분의 길이는 한 번 증가하다가 한 번 감소하며, 삼차함수의 대칭성에 의하여 증가와 감소는 완벽히 정반대의 과정이므로, [math(m=l)]일 때를 제외하고는 길이가 같은 선분이 두 개씩 존재할 수밖에 없다.

한편, 다음과 같은 경우만큼은 사실 증명이 훨씬 쉽다.

위 그림의 두 직선은 두 극점에서의 접선이다. 이때는 다음과 같이 각 교점을 모두 이어 평행사변형을 만들면 쉽게 증명할 수 있다.

위 그림과 같이, 두 직선 사이에 평행한 또 다른 직선 [math(y=t_n)]을 그었을 때 발생하는 삼차함수의 그래프와의 두 교점의 거리를 [math(l_n)]이라고 하자. 이때 평행사변형의 두 변과의 두 교점의 거리는 평행사변형의 성질상 [math(t_n)]의 값에 관계없이 항상 [math(l)]로 일정하다. 그런데 삼차함수의 그래프의 개형상 모든 [math(n)]에 대하여 [math(l_n>l)]일 수밖에 없다. 따라서 삼차함수의 그래프와 수평선의 세 교점 중 양끝의 점의 거리는 절대 [math(l)]이 될 수 없다. 또한 이웃한 두 점의 거리는 앞서 밝혔듯이 무조건 [math(l)]보다 작음이 자명하므로 이 또한 [math(l)]이 될 수가 없다.

예제 [펼치기·접기]

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2022학년도 수능 22번

이 문제에서는 위 증명에서 증명이 훨씬 쉽다고 했던 특수한 경우가 등장한다.

문제의 단서를 따라 추론하면 곡선 [math(f(x))]의 극점의 [math(x)]좌표의 차는 [math(2)]이며, [math(f(1)=f(4))]임을 알 수 있다. 이때, 점 [math((1,\,f(1)))]과 [math((4,f(4)))]의 위치를 추론해 보자. 우선 [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수이므로 극대점은 극소점보다 왼쪽에 있으며, 다항함수/공식/길이 문서에 설명된 삼차함수의 비율 관계에 따라 다음이 성립한다.

곧, 두 극점의 [math(x)]좌표의 차가 [math(2)]이므로, 비율 관계에 따라서 곡선 [math(f(x))]와 극점에서의 접선의 두 교점의 [math(x)]좌표의 차는 [math(3)]이다. 이때, [math(f(1)=f(4))]임에 주목하자. [math(1)]과 [math(4)]의 차는 [math(3)]이다. 위에서 알아본 사실에 따르면, [math(y)]좌표가 같으면서 [math(x)]좌표의 차가 [math(3)]인 경우는 위 그림과 같이 단 두 경우밖에 없음을 확신할 수 있다. 곧, 점 [math((1,\,f(1)))]과 [math((4,f(4)))] 중 어느 하나가 반드시 극점이다.

여기에서 설명한 [math(x)]좌표 간 거리의 성질을 고등학교 수준에서 추론할 수 있는 경우는 사실상 이 경우, 즉 극점에서의 접선에 관한 경우뿐이므로, 이 성질을 고등학교 수준의 시험에서 출제하려면 이 경우를 다룰 수밖에 없을 것이다.

삼차함수는 이와 같이 '[math(\boldsymbol y)]좌표가 같은 그래프 위의 두 점의 [math(\boldsymbol x)]좌표의 차'에 최댓값이 존재할 수 있는 최소 차수의 다항함수이다. 상수함수의 그래프는 수평선이므로 [math(x)]좌표의 차가 한없이 커질 수 있고, 일차함수는 무조건 일대일대응이므로 그래프 위의 두 점의 [math(y)]좌표가 같을 수조차 없으며, 이차함수의 그래프는 포물선이므로 상수함수와 같이 [math(x)]좌표의 차가 한없이 커질 수 있기 때문이다.

한편, [math(x)]좌표 간 거리가 포함된 함수를 정의하는 문제가 출제된 적도 있다.

예제 [펼치기·접기]

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2016학년도 수능 B형 21번

[math(h(t)=t\times\{f(t)-g(t)\})]의 양변을 미분하면 [math(h'(t)=t\times\{f'(t)-g'(t)\}+\{f(t)-g(t)\})]이다. 여기에 [math(h=5)]를 대입하면

[math(h'(5)=5\times\{f'(5)-g'(5)\}+\{f(5)-g(5)\})]

이므로 [math(f(5))], [math(g(5))], [math(f'(5))], [math(g'(5))]의 값을 구하면 된다. 설명에 앞서 [math(p(x)=x^3+2x^2-15x+5)]라 하자.

먼저, [math(t=5)]에서 방정식 [math(p(x)=5)]를 정리하면 [math(x(x+5)(x-3)=0)]이므로 이 방정식의 실근은 [math(-5)], [math(0)], [math(3)]이다. 따라서 [math(f(5)=3)]이고 [math(g(5)=-5)]이다.

한편 [math(p(f(t))=t)]이고 [math(p(g(t))=t)]이다. [math(f'(t))]와 [math(g'(t))]의 값을 구하기 위하여 이 두 식의 양변을 미분하면 연쇄 법칙에 따라 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\{p(f(t))\}'&=p'(f(t))\times f'(t)=1\\\\\{p(g(t))\}'&=p'(g(t))\times g'(t)=1\end{aligned})]

이때 [math(p'(t)=3t^2+4t-15)]이므로

[math(\begin{aligned}p'(f(5))f'(5)&=[3\{f(t)\}^2+4f(t)-15]\times f'(5)\\&=\{3\times 3^2+4\times 3)-15\}\times f'(5)\\&=24f'(5)=1\\\\p'(g(5))g'(5)&=[3\{g(t)\}^2+4g(t)-15]\times g'(5)\\&=\{3\times (-5)^2+4\times (-5)-15\}\times f'(5)\\&=40f'(5)=1\end{aligned})]

따라서 [math(f'(5)=1/24)]이고 [math(g'(5)=1/40)]이므로 정답은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}h'(5)&=5\times\{f'(5)-g'(5)\}+\{f(5)-g(5)\}\\&=5\times\left(\dfrac1{24}-\dfrac1{40}\right)+\{3-(-5)\}\\&=\dfrac{97}{12}\end{aligned})]

4.6.2. y좌표 간 거리(함숫값의 대소)

개형 ①, 개형 ④는 접선의 기울기가 0인 점이 두 개인 개형들이다. 접선의 기울기가 0인 점에서 [math(x)]축 방향으로 동일한 거리로 떨어져 있는 두 점의 [math(y)]좌표의 대소를 확실히 비교할 수 있다. 또한, 함숫값, 곧 [math(y)]좌표가 같은 점들의 [math(x)]좌표와, 접선의 기울기가 0인 점의 [math(x)]좌표의 거리의 대소도 확실히 비교할 수 있다.

그림에서 접선의 기울기가 0인 점 중 왼쪽에 있는 것을 [math((t,\, f(t)))]라고 하자. 그래프 [math(y=f(x))] 위에 있으면서, 직선 [math(x=t)]로부터 같은 거리만큼 떨어진 두 점 [math((t-a, \,\, f(t-a)))]와 [math((t+a,\, f(t+a)))]에 대하여, 항상 다음이 성립한다.

[math({f(t-a)<f(t+a)})]

위에서 언급했듯이, 개형 ①은 급증, 완감, 급증, 개형 ④는 급감, 완증, 급감하기 때문으로 설명할 수 있다. 쉽게 말해서, 위 그림은 [math((t,\, f(t)))]에서 왼쪽과 오른쪽으로 그래프가 아래로 떨어지는 모양새인데, 왼쪽은 빨리 떨어지고 오른쪽은 살살 떨어지니까, [math(\boldsymbol x)]축 방향으로 같은 거리만큼 진행했으면 살살 떨어진 쪽이 빨리 떨어진 쪽보다 덜 떨어졌으니 더 위에 있을 것이라는 말이다.

나아가, 양의 실수 [math(a)]의 값이 무엇이든, 위의 대소 관계가 성립할 수밖에 없다. 위 그림과 같이, 개형은 좌하와 우상으로 한없이 뻗어나가기에 오른쪽으로 가면 갈수록 함숫값이 한참 커지고 왼쪽으로 가면 갈수록 함숫값이 한참 작아지기 때문으로 이해하면 쉽다.

대수학적으로는 계산의 단순화를 위해 삼차함수 [math(f(x)=x^2(x-a))]와 임의의 양수 [math(t)]에 대하여 [math(f(-t)<f(t))]임을 보이기만 하면 된다.

[math(\begin{aligned}f(-t)=t^2(-t-a)&<t^2(t-a)=f(t)\\\\(\because-t&<t)\end{aligned})]

한편, 개형 ④ 역시 모양이 반대일 뿐, 똑같은 논리를 전개하면 된다.

[예제]: ----
이러한 내용은 2020학년도 수능완성 나형 실전 모의고사 2회 20번에 출제되었다.

문제의 조건을 만족시키는 함수 [math(f(x))]와 [math(g(x))]의 그래프를 추론하면 다음과 같다.

쉽게 말해서 함수 [math(f(x))]는 최고차항의 계수가 음수이고 [math(x=0)]에서 극값을 갖는다.

그러면 앞서 밝힌 성질에 따라 위 그림처럼 [math(f(1)<f(-1))]이 성립하므로 ㄱ은 참이다. 참고로 ㄴ은 거짓, ㄷ은 참이고 정답은 ③이다.

실제 수능완성에서는 다음과 같이 그래프를 사용하지 않는 대수학적 해설을 제시했는데, 미분계수의 정의를 사용해야 하므로 엄밀하기는 하지만 직관적이지 않고 시간이 오래 걸린다.

4.7. 평균변화율

삼차함수는 평균값 정리의 역의 반례가 존재하는 최소 차수의 다항함수이며, 그 반례는 다름 아닌 변곡점이다. 그 이유는 다음과 같다.

우선, 삼차함수의 그래프에 대한 평균값 정리의 역은 다음과 같다.

[math(a<c<b)]인 세 실수에 대하여, 삼차함수 [math(f(x))]의 그래프 위의 점 [math((c,\,f(c)))]의 순간변화율 [math(f'(c))]와 평균변화율이 같은 구간 [math([a,\,b])]가 존재한다.

요컨대, 변곡점에서만큼은 이러한 구간 [math([a,\,b])]를 정할 수 없다는 뜻이다. 이는 변곡점을 [math((c,\,f(c)))]라 하고 [math(f(x))]의 최고차항의 계수가 양수인 경우에 한하여 다음과 같이 여러 경우로 나누어 증명할 수 있다.

위 그림의 왼쪽은 곡선 [math(f(x))]와 두 점 [math((a,\,f(a)))]와 [math((b,\,f(b)))]를 지나는 직선의 교점이 두 개인 경우, 오른쪽은 세 개인 경우를 나타낸다.

[1] 교점이 두 개
이 경우 두 점 [math((a,\,f(a)))]와 [math((b,\,f(b)))] 중 어느 한 점에서 직선은 접해야만 한다. 곧,

[math(([a,\,b]\textsf{\footnotesize의 평균변화율})=f'(a)=f'(p)\\\textsf{or}\\([a,\,b]\textsf{\footnotesize의 평균변화율})=f'(b)=f'(p))]

[math(a\neq p,\, b\neq p)]이므로 어느 경우이든 이미 접선의 기울기가 같은 서로 다른 두 점이 발견되었다. 삼차함수의 도함수는 이차함수이므로, 삼차함수의 그래프에서는 접선의 기울기가 같은 서로 다른 세 점이 존재할 수 없다. 곧, 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}f'(a)&=f'(p)\neq f'(c)\\&\textsf{or}\\f'(b)&=f'(p)\neq f'(c)\quad(\because p\neq c)\end{aligned})]

[2] 교점이 세 개
이 경우, 위 그림과 같이 곡선 [math(f(x))]와 직선의 교점 중 [math(x)]좌표가 [math(a)]나 [math(b)]가 아닌 것을 [math((t,\,f(t)))]라 하면 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}([a,\,b]\textsf{\footnotesize의 평균변화율})&=([a,\,t]\textsf{\footnotesize의 평균변화율})=f'(p_1)\\&=([t,\,b]\textsf{\footnotesize의 평균변화율})=f'(p_2)\end{aligned})]

[math(p_1\neq p_2)]이므로 이미 접선의 기울기가 같은 서로 다른 두 점이 발견되었다. 삼차함수의 도함수는 이차함수이므로, 삼차함수의 그래프에서는 접선의 기울기가 같은 서로 다른 세 점이 존재할 수 없다. 곧, 다음이 성립한다.

[math(f'(p_1)=f'(p_2)\neq f'(c)\quad(\because p_1\neq c\neq p_2))]

[3] 그래프가 일대일대응

이 경우에는 순간변화율의 최솟값이 변곡점인 동시에 함수의 증감 여부가 바뀌지 않으므로, 변곡점을 사이에 두고 좌우에서 하나씩 고른 그래프 위의 두 점을 이은 직선의 평균변화율은 변곡점의 순간변화율보다 클 수밖에 없다. 쉽게 말해서, '순간적'으로는 변곡점에서 가장 천천히 증가하는 셈이고, 직선의 평균변화율은 변곡점 이외의 점에서 더욱 큰 수많은 순간변화율들의 영향을 받아 만들어진 것이므로 당연히 변곡점의 순간변화율보다 클 수밖에 없다. 특히, 왼쪽의 경우 변곡점의 순간변화율이 0인데, 그래프는 증가하므로 [math(a)]와 [math(b)]를 어떻게 정하더라도 직선의 기울기는 양일 수밖에 없으니 이와 같은 사실을 아주 직관적으로 파악할 수 있다.

따라서 [math([a,\,b])]의 평균변화율은 [math(f'(c))]와 같아질 수 없으며, 이것이 곧 평균값 정리의 역의 반례이다. 최고차항의 계수가 음수인 경우도 모양만 반대일 뿐이지 어차피 다 같은 것이다.

나아가 어차피 [math(\boldsymbol{a<c<b})]이지 않더라도 [math([a,\,b])]의 평균변화율은 [math(f'(c))]와 같아질 수 없는데, 다음과 같이 두 경우로 나누어 증명할 수 있다.

[1] [math(\boldsymbol{c<a<b})]

이 경우 위 그림과 같이 평균변화율은 항상 [math(f'(p))]가 된다. 평균값 정리에 따라 [math(a<p<b)]이므로 [math(c\neq p)]이다. 그런데 [math(c)]는 변곡점의 [math(x)]좌표로서 방정식 [math(f'(x)=f'(c))]의 근은 [math(x=c)] 오직 하나이므로 [math(f'(p)\neq f'(c))]이다.

[2] [math(\boldsymbol{a<b<c})]

이 경우도 [1]처럼 평균변화율은 항상 [math(f'(p))]가 된다. 평균값 정리에 따라 [math(a<p<b)]이므로 [math(c\neq p)]이다. 그런데 [math(c)]는 변곡점의 [math(x)]좌표로서 방정식 [math(f'(x)=f'(c))]의 근은 [math(x=c)] 오직 하나이므로 [math(f'(p)\neq f'(c))]이다.

최고차항의 계수가 음수인 경우도 모양만 반대일 뿐이지 어차피 다 같은 것이다. 곧, 삼차함수의 평균변화율은 변곡점의 접선의 기울기와 같지 않다.

한편, 삼차함수 [math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)]의 구간 [math([p,\,q])]의 평균변화율에 대하여 다음의 범위가 성립한다.

[math(\dfrac{f(q)-f(p)}{q-p}>c-\dfrac{b^2}{3a}\quad(p,\,q\in\mathbb{R},\,p<q))]

이를 증명하기 위해서는 앞서 밝힌 변곡점과 평균변화율에 대한 사실을 알아야 한다. 먼저, 평균값 정리에 의하여 다음 빨간색 식을 만족시키는 실수 [math(k)]가 존재하며, [math(f'(k))]는 다음과 같이 표준형으로 바꿀 수 있다.

[math(\begin{aligned}{\color{red}\dfrac{f(q)-f(p)}{q-p}}&\;{\color{red}=f'(k)}\\&=3ak^2+2bk+c\\&=3a\left(k+\dfrac{b}{3a}\right)^{\!2}+c-\dfrac{b^2}{3a}\\&\geq c-\dfrac{b^2}{3a}\end{aligned})]

한편

[math(f''(x)=6ax+2b)]

에서 곡선 [math(f(x))]의 변곡점은 [math(x=-b/3a)]로 유일하며, 앞서 밝혔듯이 평균변화율이 변곡점의 접선의 기울기 즉 [math(f'(-b/3a)=c-b^2/3a)]과 같을 수가 없으므로 [math(f'(k)\neq c-b^2/3a)]이다.

따라서 최종적인 평균변화율의 범위는 다음과 같다.

[math(\dfrac{f(q)-f(p)}{q-p}>c-\dfrac{b^2}{3a})]

4.8. 실근의 절댓값

세 개의 실근을 갖는 삼차방정식 [math(ax^3+bx^2+cx+d=0)]의 세 실근의 절댓값 중 적어도 하나는 [math(\left|{b}/{3a}\right|)] 이상이다. 이를 증명하여 보자.

귀류법으로 증명한다. 세 실근을 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하고 다음과 같이 결론을 부정하자.

[math(|\alpha|<\left|\dfrac{b}{3a}\right|,\;|\beta|<\left|\dfrac{b}{3a}\right|,\;|\gamma|<\left|\dfrac{b}{3a}\right|)]

근과 계수의 관계에 의하여 [math(-{b}/{a}=-(\alpha+\beta+\gamma))]이므로 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}\left|\dfrac{b}{a}\right|&=|\alpha+\beta+\gamma|\\&\leq|\alpha+\beta|+|\gamma|\\&\leq|\alpha|+|\beta|+|\gamma|\\&<\left|\dfrac{b}{3a}\right|+\left|\dfrac{b}{3a}\right|+\left|\dfrac{b}{3a}\right|\\&=\left|\dfrac{b}{a}\right|\end{aligned})]

그런데 이는 모순이므로 처음의 가정이 잘못되었다. 곧, [math(|\alpha|)], [math(|\beta|)], [math(|\gamma|)] 중 적어도 하나는 [math(\left|{b}/{3a}\right|)] 이상이다.

[예제]: ----
이와 같은 사실은 1995년 수능 자연계 23번에서 최고차항의 계수가 1이고 이차항의 계수가 [math(a)]인 경우로 단순화하여 출제되었다. 정답은 4번이다.

한편, [math(a,\,b,\,c \in \mathbb{Q})]이고 [math(\alpha,\,\beta,\,\gamma \in \R\backslash\mathbb{Q})]이면, [math(|\alpha|,\,|\beta|,\,|\gamma|)]는 환원 불능(casus irreducibilis)한 양수로 나타난다.

4.9. 실근끼리의 계산 결과의 변화

위 그림과 같이 극값이 두 개인 삼차함수 [math(y=f(x))]의 그래프와 직선 [math(y=t)]의 교점의 개수가 3일 때, 각 교점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하자. 그러면 이 세 수는 삼차방정식 [math(f(x)-t=0)]의 서로 다른 세 실근이다. 이때, [math(\boldsymbol t)]의 값이 증가함에 따라 실근끼리의 계산 결과가 어떻게 변화하는지 검토해 보자. 분석에 앞서 [math(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)]로 놓고, ↑는 증가, ↓는 감소, ↑↓는 증가 후 감소, ↓↑는 감소 후 증가, ◯는 일정을 나타내는 것으로 약속하자.

[math(\boldsymbol{\alpha,\,\beta,\,\gamma})]

각 실근의 변화 양상은 위 그림과 같이 [math(f(x))]의 최고차항의 계수(이하 [math(a)])의 부호에 따라 달라진다. 그림에서 금방 알 수 있듯이, 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad&\alpha,\quad\beta,\quad\gamma\\&(\uparrow)\;\;(\downarrow)\;\;(\uparrow)\\\\a<0:\quad&\alpha,\quad\beta,\quad\gamma\\&(\downarrow)\;\;(\uparrow)\;\;(\downarrow)\end{aligned})]

[math(\boldsymbol{\beta-\alpha,\,\gamma-\beta,\,\gamma-\alpha})]

먼저, 인접한 두 실근의 차는 위 그림과 같이 [math(a)]의 부호에 따라 달라진다. 그림에서 한눈에 길이의 변화를 알 수 있는데, 다음과 같이 수식으로도 이를 알 수 있다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\beta&-\alpha=\beta-\alpha\\&(\downarrow)\quad\;\;(\downarrow)\;\;(\uparrow)\\\\\gamma&-\beta=\gamma-\beta\\&(\uparrow)\quad\;\;(\uparrow)\;\;(\downarrow)\\\\a<0:\quad\beta&-\alpha=\beta-\alpha\\&(\uparrow)\quad\;\;(\uparrow)\;\;(\downarrow)\\\\\gamma&-\beta=\gamma-\beta\\&(\downarrow)\quad\;\;(\downarrow)\;\;(\uparrow)\end{aligned})]

그러나 [math(a)]의 부호에 관계없이 [math(\alpha)]와 [math(\gamma)]의 증감 양상이 같으므로, 이 둘의 차 [math(\gamma-\alpha)]의 증감 양상은 위와 같은 방법으로는 확인할 수 없다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\gamma&-\alpha=\gamma-\alpha\\&(?)\quad\;\;(\uparrow)\;\;(\uparrow)\\\\a<0:\quad\gamma&-\alpha=\gamma-\alpha\\&(?)\quad\;\;(\downarrow)\;\;(\downarrow)\end{aligned})]

그런데 위 'x좌표 간 거리' 문단에서 [math(\gamma-\alpha)]의 길이는 위 그림과 같이 증가하다가 감소하며, 직선 [math(y=t)]가 변곡점을 지날 때 최대가 됨을 밝혔다. 이때 특기할 만한 점은 [math(\boldsymbol a)]의 부호는 상관이 없다는 것이다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\gamma-\alpha\\(\uparrow\downarrow))]

[math(\boldsymbol{\alpha+\beta+\gamma,\,\alpha+\beta,\,\alpha+\gamma,\,\beta+\gamma})]

먼저 세 실근의 합의 변화를 알아보자. 우선 각 실근의 증감 양상이 일치하지 않으므로, 다음과 같은 방법으로는 세 실근의 합의 증감 양상을 확신할 수 없다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\alpha+&\,\beta+\gamma=\alpha+\beta+\gamma\\&(?)\qquad\;\,(\uparrow)\;\,\,(\downarrow)\;\,(\uparrow)\\\\a<0:\quad\alpha+&\,\beta+\gamma=\alpha+\beta+\gamma\\&(?)\qquad\;\,(\downarrow)\;\,\,(\uparrow)\;\,(\downarrow)\end{aligned})]

이때는 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 사용할 수 있다. 우선 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]는 삼차방정식

[math(f(x)-t=ax^3+bx^2+cx+d-t=0)]

의 서로 다른 세 실근이다. 근과 계수의 관계에 의하면, 세 실근의 합은 [math(-b/a)]로서, 삼차항의 계수를 이차항의 계수로 나눈 뒤 음의 부호를 붙인 것과 같다. 그런데 [math(t)]는 상수항에만 영향을 주므로, 위 방정식에서 [math(a)]와 [math(b)]의 값에 아무런 영향을 주지 않는다. 곧, [math(t)]의 값에 관계없이 [math(\alpha+\beta+\gamma)]의 값은 [math(\boldsymbol{-b/a})]로 일정하다. 따라서 [math(a)]의 부호와도 관련이 없음은 물론이다. [math(\alpha)] 및 [math(\gamma)]가 [math(\beta)]와 반대 방향으로 변화하는데, 이 정반대의 변화가 완벽히 상쇄되는 것이다. 곧, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}\alpha+&\;\beta+\gamma\\&(◯)\end{aligned})]

이제 두 실근의 합의 변화를 알아보자. 우선 각 실근의 증감 양상이 일치하지 않으므로, 다음과 같은 방법으로는 [math(\alpha+\gamma)]의 증감 양상밖에 알 수 없다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\alpha&+\beta=\alpha+\beta\\&(?)\quad\;\;(\uparrow)\;\;(\downarrow)\\\\\alpha&+\gamma=\alpha+\gamma\\&(\uparrow)\quad\;\;(\uparrow)\;\;(\uparrow)\\\\\beta&+\gamma=\beta+\gamma\\&(?)\quad\;\;(\downarrow)\;\;(\uparrow)\\\\a<0:\quad\alpha&+\beta=\alpha+\beta\\&(?)\quad\;\;(\downarrow)\;\;(\uparrow)\\\\\alpha&+\gamma=\alpha+\gamma\\&(\downarrow)\quad\;\;(\downarrow)\;\;(\downarrow)\\\\\beta&+\gamma=\beta+\gamma\\&(?)\quad\;\;(\uparrow)\;\;(\downarrow)\end{aligned})]

이때는 방금 밝힌, [math(\alpha+\beta+\gamma)]의 값이 일정하다는 사실을 이용하면 모든 식의 증감 양상을 알 수 있다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\alpha&+\beta=(\alpha+\beta+\gamma)-\gamma\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\;\;(\uparrow)\\\\\alpha&+\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)-\beta\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\;\;(\downarrow)\\\\\beta&+\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)-\alpha\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\;\;(\uparrow)\\\\a<0:\quad\alpha&+\beta=(\alpha+\beta+\gamma)-\gamma\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\;\;(\downarrow)\\\\\alpha&+\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)-\beta\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\;\;(\uparrow)\\\\\beta&+\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)-\alpha\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\;\;(\downarrow)\end{aligned})]

[math(\boldsymbol{2\alpha+\beta,\,2\alpha+\gamma,\,2\beta+\alpha,\,2\beta+\gamma,\,2\gamma+\alpha,\,2\gamma+\beta})]

이 경우, 처음에는 해당 두 실근의 합과, 계수가 2인 실근 하나를 더하여 증감 양상을 판단하는 방법을 생각할 수 있다. 예를 들어 [math(2\alpha+\beta)]를 [math(\alpha+\beta)]와 [math(\alpha)]로 쪼개는 것이다. 그러나 앞서 밝혔듯이 [math(\alpha+\beta)]는 감소하고 [math(\alpha)]는 증가하는 등, 변화의 방향상 결론을 도출할 수 없는 경우들이 일부 있어서 적절한 방법이 아니다. 이때에도 [math(\alpha+\beta+\gamma)]의 값이 일정하다는 사실을 이용하면 모든 식의 증감 양상을 알 수 있다.

[math(a)]의 부호에 따라 증감 양상이 바뀌는 식은 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad2\alpha&+\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)-(\beta-\alpha)\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(\downarrow)\\\\2\beta&+\alpha=(\alpha+\beta+\gamma)-(\gamma-\beta)\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(\uparrow)\\\\2\beta&+\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)+(\beta-\alpha)\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(\downarrow)\\\\2\gamma&+\alpha=(\alpha+\beta+\gamma)+(\gamma-\beta)\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(\uparrow)\\\\a<0:\quad2\alpha&+\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)-(\beta-\alpha)\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(\uparrow)\\\\2\beta&+\alpha=(\alpha+\beta+\gamma)-(\gamma-\beta)\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(\downarrow)\\\\2\beta&+\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)+(\beta-\alpha)\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(\uparrow)\\\\2\gamma&+\alpha=(\alpha+\beta+\gamma)+(\gamma-\beta)\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(\downarrow)\end{aligned})]

나머지 식들은 [math(a)]의 부호에 관계없이 다음이 성립한다.

[math(\begin{aligned}2\alpha&+\beta=(\alpha+\beta+\gamma)-(\gamma-\alpha)\\&\!\!(\downarrow\uparrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\,(\uparrow\downarrow)\\\\2\gamma&+\beta=(\alpha+\beta+\gamma)+(\gamma-\alpha)\\&\!\!(\uparrow\downarrow)\quad\quad\quad\;\;(◯)\quad\quad\quad\;\,(\uparrow\downarrow)\end{aligned})]

[math(\boldsymbol{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,\,\alpha\beta\gamma,\,(\alpha\beta)^2+(\beta\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2})]

두 실근끼리의 곱의 합의 변화를 알아보자. 이 역시 곧이곧대로 분석하는 방법은 통하지 않고, 근과 계수의 관계를 이용해야 한다. 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하면, 이 식의 값은 [math(c/a)]로서, 삼차항의 계수와 일차항의 계수의 비에 음의 부호를 붙인 것과 같다. 그런데 [math(t)]는 상수항에만 영향을 주므로, [math(a)]와 [math(c)]의 값에 아무런 영향을 주지 않는다. 곧, [math(t)]의 값에 관계없이 이 식의 값은 [math(\boldsymbol{c/a})]로 일정하다. 따라서 [math(a)]의 부호와도 관련이 없음은 물론이다.

이번에는 세 실근의 곱의 변화를 알아보자. [math(\beta)]가 [math(\alpha)], [math(\gamma)]와 변화의 방향이 다르기 때문에 이 식 역시 단번에 결론을 낼 수 없으며, 근과 계수의 관계를 이용해야 한다. 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하면, [math(\alpha\beta\gamma)]의 값은 [math(-(d-t)/a)]로서, 상수항을 삼차항의 계수로 나눈 뒤 음의 부호를 붙인 것과 같다. 앞서 밝혔듯이 방정식

[math(f(x)-t=ax^3+bx^2+cx+d-t=0)]

을 푸는 것이므로, 상수항은 그냥 [math(d)]가 아닌 [math(d-t)]가 되는 것이다. 이때, [math(a)]와 [math(d)]는 상수이므로, [math(t)]가 증가한다면 [math(d-t)]의 값은 감소한다. 이때, 분모에 [math(a)]가 있으므로 [math(-(d-t)/a)]의 값은 [math(a>0)]이면 증가하고, [math(a<0)]이면 감소한다.

이를 토대로 두 실근끼리의 곱의 제곱의 합의 변화를 알 수 있다. 곱셈 공식을 사용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad(\alpha\beta)^2+(\beta&\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2=(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)\\&(\downarrow)\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\;(◯)\qquad\qquad\;\;\,(\uparrow)\quad\;\;\;\,(◯)\\\\a<0:\quad(\alpha\beta)^2+(\beta&\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2=(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)\\&(\uparrow)\qquad\qquad\qquad\quad\;\;\;(◯)\qquad\qquad\;\;\,(\downarrow)\quad\;\;\;\,(◯)\end{aligned})]

[math(\boldsymbol{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2,\,\alpha^3+\beta^3+\gamma^3})]

세 실근의 제곱의 합의 변화를 알아보자. 이 역시 곧이곧대로 분석하는 방법은 통하지 않고, 다음의 곱셈 공식을 이용하면 간단히 결론을 얻을 수 있다.

[math(\begin{aligned}\alpha^2+&\;\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\&(◯)\quad\quad\quad\quad\;\;\,(◯)\qquad\qquad\quad\quad\;\,(◯)\end{aligned})]

이를 토대로 세 실근의 세제곱의 합의 변화까지 구할 수 있다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\alpha^3+&\,\beta^3+\gamma^3=(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\right\}+3\alpha\beta\gamma\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\qquad(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(◯)\quad\quad\quad\qquad\;\;\;(◯)\quad\quad\quad\quad\;\;\;\;(\uparrow)\\\\a<0:\quad\alpha^3+&\,\beta^3+\gamma^3=(\alpha+\beta+\gamma)\left\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\right\}+3\alpha\beta\gamma\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\qquad(◯)\quad\quad\quad\;\;\;(◯)\quad\quad\quad\qquad\;\;\;(◯)\quad\quad\quad\quad\;\;\;\;(\downarrow)\end{aligned})]

혹은 다음의 곱셈 공식을 이용해도 되는데, 이 경우 [math(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)]의 증감 양상을 몰라도 되므로 좀 더 편리하다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\alpha^3+&\,\beta^3+\gamma^3=(\alpha+\beta+\gamma)-3(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\\&(\uparrow)\quad\quad\quad\qquad(◯)\quad\quad\quad\quad\quad(◯)\quad\quad\quad\quad\;(◯)\quad\quad\quad\quad\;\,(\uparrow)\\\\a<0:\quad\alpha^3+&\,\beta^3+\gamma^3=(\alpha+\beta+\gamma)-3(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\\&(\downarrow)\quad\quad\quad\qquad(◯)\quad\quad\quad\quad\quad(◯)\quad\quad\quad\quad\;(◯)\quad\quad\quad\quad\;\,(\downarrow)\end{aligned})]

[math(\boldsymbol{(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)})]

두 실근끼리의 합의 곱의 변화를 알아보자. 먼저, 세 인수 [math((\alpha+\beta))], [math((\beta+\gamma))], [math((\gamma+\alpha))]의 변화의 방향이 일치하지 않으므로 다음과 같은 방법은 통하지 않는다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad(\alpha+\beta)(\beta&+\gamma)(\gamma+\alpha)=(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)\\&(?)\qquad\qquad\quad\quad\;\;(\downarrow)\quad\quad\!(\downarrow)\quad\;\;\,\,(\uparrow)\\\\a<0:\quad(\alpha+\beta)(\beta&+\gamma)(\gamma+\alpha)=(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)\\&(?)\qquad\qquad\quad\quad\;\;(\uparrow)\quad\quad\!(\uparrow)\quad\;\;\,\,(\downarrow)\end{aligned})]

이 경우에도 곱셈 공식을 이용해야 결론을 얻을 수 있다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad(\alpha+\beta)(\beta&+\gamma)(\gamma+\alpha)=\dfrac13\left\{(\alpha+\beta+\gamma)^3-(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)\right\}\\&(\downarrow)\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;(◯)\qquad\qquad\quad\;\;(\uparrow)\\\\a<0:\quad(\alpha+\beta)(\beta&+\gamma)(\gamma+\alpha)=\dfrac13\left\{(\alpha+\beta+\gamma)^3-(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)\right\}\\&(\uparrow)\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;(◯)\qquad\qquad\quad\;\;(\downarrow)\end{aligned})]

[math(\boldsymbol{(\alpha+\beta)^2+(\beta+\gamma)^2+(\gamma+\alpha)^2,\,(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2})]

두 실근끼리의 합의 제곱의 합 그리고 두 실근끼리의 차의 제곱의 합의 변화를 알아보자. 이 경우에도 각 항의 변화 방향이 일치하지 않아 곧바로 증감 양상을 알 수가 없어서 다음과 같이 곱셈 공식을 사용해야 한다.

[math(\begin{aligned}(\alpha+\beta)^2+(\beta&+\gamma)^2+(\gamma+\alpha)^2=2\left\{\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\right\}\\&(◯)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\,(◯)\qquad\qquad\quad\quad\,(◯)\\\\(\alpha-\beta)^2+(\beta&-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2=2\left\{\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\right\}\\&(◯)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\,(◯)\qquad\qquad\quad\quad\,(◯)\end{aligned})]

곧, 이 식들의 값은 [math(t)]의 값에 관계없이 일정하며, [math(a)]의 부호와도 관계가 없다. 한편, 통일성을 위해 [math(\alpha-\beta)], [math(\beta-\gamma)]와 같이 표기했지만, 이는 작은 수에서 큰 수를 뺀 것이므로 음의 값이 되어 엄밀히 말하면 '차'가 아니며 [math(\beta-\alpha)], [math(\gamma-\beta)]로 표기해야 한다. 그러나 제곱을 취하면 차의 제곱과 같아지므로 두 번째 식을 '두 실근끼리의 차의 제곱의 합'이라고 할 수 있다.

[math(\boldsymbol{\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta+\dfrac1\gamma})]

세 실근의 역수의 합의 변화를 알아보자. 어떤 수에 역수를 취하면 변화의 방향이 반대가 되는데, [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]의 변화의 방향이 일치하지 않으므로 역수를 취해도 마찬가지로 일치하지 않는다. 따라서 세 역수의 합으로 접근해서는 증감 양상을 판별할 수 없고, 다음과 같이 통분해야 한다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\dfrac1\alpha\,+\,&\dfrac1\beta+\dfrac1\gamma=\dfrac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\\&(\downarrow)\qquad\qquad\quad\;\dfrac{(◯)}{(\uparrow)}\\\\a<0:\quad\dfrac1\alpha\,+\,&\dfrac1\beta+\dfrac1\gamma=\dfrac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\\&(\uparrow)\qquad\qquad\quad\;\dfrac{(◯)}{(\downarrow)}\end{aligned})]

[math(\boldsymbol{\dfrac\alpha{\beta\gamma}+\dfrac\beta{\gamma\alpha}+\dfrac\gamma{\alpha\beta},\,\dfrac{\beta\gamma}\alpha+\dfrac{\gamma\alpha}\beta+\dfrac{\alpha\beta}\gamma})]

두 실근끼리의 곱과 다른 한 실근의 비의 합의 변화를 알아보자. 바로 위에서 다룬 세 실근의 역수의 합과 같이, 이 경우에도 다음과 같이 통분으로 증감 양상을 판별할 수 있다.

[math(\begin{aligned}a>0:\quad\dfrac\alpha{\beta\gamma}\,\,+\,&\dfrac\beta{\gamma\alpha}+\dfrac\gamma{\alpha\beta}=\dfrac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\alpha\beta\gamma}\\&(\downarrow)\qquad\qquad\qquad\dfrac{(◯)}{(\uparrow)}\\\\\dfrac{\beta\gamma}\alpha\,\,+\,&\dfrac{\gamma\alpha}\beta+\dfrac{\alpha\beta}\gamma=\dfrac{(\alpha\beta)^2+(\beta\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2}{\alpha\beta\gamma}\\&(\downarrow)\qquad\qquad\qquad\qquad\;\dfrac{(\downarrow)}{(\uparrow)}\\\\a<0:\quad\dfrac\alpha{\beta\gamma}\,\,+\,&\dfrac\beta{\gamma\alpha}+\dfrac\gamma{\alpha\beta}=\dfrac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\alpha\beta\gamma}\\&(\uparrow)\qquad\qquad\qquad\dfrac{(◯)}{(\downarrow)}\\\\\dfrac{\beta\gamma}\alpha\,\,+\,&\dfrac{\gamma\alpha}\beta+\dfrac{\alpha\beta}\gamma=\dfrac{(\alpha\beta)^2+(\beta\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2}{\alpha\beta\gamma}\\&(\uparrow)\qquad\qquad\qquad\qquad\;\dfrac{(\uparrow)}{(\downarrow)}\end{aligned})]

4.9.1. 총정리

기하학적인 방법으로 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)], [math(\beta-\alpha)], [math(\gamma-\beta)], [math(\gamma-\alpha)]의 증감 양상을 알아내는 것이 첫째 열쇠이다. 그 다음에는 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 [math(\alpha+\beta+\gamma)], [math(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)], [math(\alpha\beta\gamma)]의 증감 양상을 구한다. 나아가 이 아홉 개의 식을 조합한 새로운 식들의 증감 양상을 구할 때는, 식 자체에 명시적으로 표기되어 있는 합, 차, 곱, 비를 통해서 증감 양상을 판별하는 방식이 기본이다. 이 방법으로 곧장 결론을 낼 수 없는 경우, 곱셈 공식이나 통분을 활용하여 식을 변형한다.
값이 증가하다가 감소하거나, 감소하다가 증가하거나, 일정한 식들은 [math(a)]의 부호에 관계없이 같은 사실이 성립하며, 값이 증가하기만 하거나 감소하기만 하는 식들은 [math(a)]의 부호가 반대가 되면 변화의 방향도 반대가 된다.
여러 식들의 유도 관계를 [math(\boldsymbol{a>0})]일 때를 기준으로 총정리하여 시각화하면 다음과 같다.

[math(\alpha+\beta+\gamma(◯)\textsf{:\;\footnotesize근과 계수의 관계})]
[math(\begin{array}{c}\\\\\alpha(\uparrow)&\beta(\downarrow)&\gamma(\uparrow)&\beta-\alpha(\downarrow)&\gamma-\beta(\uparrow)&\gamma-\alpha(\uparrow\downarrow)\\\\▼&▼&▼&▼&▼&▼\\\\\beta+\gamma(\downarrow)&\alpha+\gamma(\uparrow)&\alpha+\beta(\downarrow)&2\alpha+\gamma(\uparrow)&2\beta+\alpha(\downarrow)&2\alpha+\beta(\downarrow\uparrow)\\&&&2\beta+\gamma(\downarrow)&2\gamma+\alpha(\uparrow)&2\gamma+\beta(\uparrow\downarrow)\end{array})]

4.9.2. 정확한 값

값이 일정한 식들의 그 정확한 값을 알아보자. 설명에 앞서 다음을 약속하자.

실수 [math(k)]와 양수 [math(l)]에 대하여 곡선 [math(f(x))]의 두 극점과 변곡점의 [math(x)]좌표를 작은 순서대로 [math(k-l)], [math(k)], [math(k+l)]이라 하자. 그러면 다항함수/공식/길이 문서에 설명된 비율 관계에 따라서, 곡선 [math(f(x))]와 극점에서의 접선의 교점을 이은 선분의 길이는 [math(3l)]이 되며, 곡선 [math(f(x))]와 변곡점을 지나고 [math(y)]축에 수직인 직선의 교점들의 [math(x)]좌표는 공차가 [math(\sqrt3l)]인 등차수열을 이룬다.

값이 일정한 식들의 구체적인 값은 위 가정하에서 다음과 같다.

[math(\begin{aligned}\boldsymbol{\alpha+\beta+\gamma}&=3k\\\boldsymbol{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}&=3k^2+6l^2\\\boldsymbol{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}&=3k^2-3l^2\\\boldsymbol{(\alpha+\beta)^2+(\beta+\gamma)^2+(\gamma+\alpha)^2}&=12k^2+6l^2\\\boldsymbol{(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2}&=18l^2\end{aligned})]

이 값들은 [math(t)]의 값에 영향을 받지 않으므로, 계산이 가장 편리한 직선 [math(y=t)]가 변곡점을 지날 경우를 계산하는 것이 좋다. 곧, 세 실근을

[math(\alpha=k-\sqrt3l,\,\beta=k,\,\gamma=k+\sqrt3l)]

로 놓고 계산하기만 하면 된다.

5. 역함수

삼차함수의 역함수는 다음 두 경우로 생각할 수 있다.

개형 ②, ③, ⑤, ⑥: 세제곱근 함수가 된다. 세제곱근 함수에서는 접선이 [math(x)]축과 수직이 되어 그 기울기가 정의되지 않는 점이 존재한다. [10]
개형 ①, ④: 일대일대응이 아니므로 역함수가 존재하지 않는다. 다만 세제곱근 함수가 포함되어 있는 음함수로 표현할 수는 있으며, 양함수로 표현하기 위해서는 아래와 같이 미분계수가 발산하는 두 점을 경계로 하여 세 부분으로 나누어 조각적으로 정의하여야 한다.

6. 복소평면

복소평면에서는 삼각형을 그린다. 대표적으로 [math(f(z) = z^3+1)]은 아래의 형태가 된다.

7. 다변수함수

변수가 둘 이상인 경우에도 삼차식으로 정의되는 함수를 생각할 수 있다.

[math(\displaystyle y = \sum_{ijk} a_{ijk} x_i x_j x_k + \sum_{ij} b_{ij} x_i x_j + \sum_i c_i x_i + d)]

이는 삼차함수보다는 삼차형식(cubic form, 三次型式)이라는 이름으로 많이 불린다. 대표적인 삼차형식으로 타원곡선이 있다.

8. 각종 공식

어떤 함수가 삼차함수임(일 수 있음)을 알려주는 단서, 삼차함수의 그래프의 거리, 삼차함수의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이, 그래프 속 길이와 넓이의 관계 등 각종 공식은 다항함수/추론 및 공식 참고.

9. 기타

중학교 3학년 때 이차함수와 이차방정식, 이차방정식의 근의 공식을 배운 후 고등학교 2학년 때 수학Ⅱ에서 미적분과 함께 삼차함수와 사차함수를 배우게 된다.[11]
개형 ③, 개형 ⑥의 삼차함수와 닮은꼴인 함수의 종류가 상당히 많다. 대표적으로 [math(sinh)], [math(rm artanh)], [math(rm erfi)], [math(rm igd)], [math(rm Shi)] 등이 있다.

10. 관련 문서

[1] 즉, [math(y=f'(x))]의 그래프가 [math(x)]축에 접한다. [2] 즉, [math(y=f'(x))]의 그래프가 [math(x)]축에 접한다. [3] 수평선 판정법(horizontal line test)이라고 한다. [4] 이는 후술할 ' 역함수가 존재한다'와 동치이다. [5] 이는 위에서 밝힌 명제 '삼차함수의 그래프와 직선의 교점이 두 개이면, 두 그래프는 한 점에서 접한다.'의 대우이다. [6] 만약 수직선과의 교점, 곧 대응하는 [math(y)]값이 둘 이상일 경우 음함수 또는 다가 함수가 된다. 대표적인 예로 허수지수함수 [math(\rm cis)]가 있다. [7] [math(a)]의 값이 달라지면 곡선과 직선의 모양이나 기울기 등이 달라진다. [8] 엄밀히 증명하려면 먼저 선분의 길이를 양 끝 점의 [math(y)]좌표에 대한 함수로 나타내야 한다. 그러기 위해서는 [math(x)]에 관한 삼차식을 [math(x)]에 관해 풀어내야 하는데 이 과정은 지나치게 번거로우며, 이 복잡한 식의 최대·최소를 구하는 과정은 말할 것도 없다. [9] 이해하기 어렵다면 다음 그림을 보자. 기울기가 급한 빨간색 곡선은 기울기가 완만한 검은색 곡선보다 같은 목적지에 도착하기까지 더 먼 거리를 움직여야 한다(빨간색 곡선이 더 길다).

[10] 개형 ②, ⑤의 역함수에 해당한다. 개형 ③, ⑥의 경우 접선의 기울기가 0인 점이 존재하지 않으므로 역함수의 치역의 범위는 유계가 된다. [11] 그 전에 방정식에서 함수를 이용하여 정수근을 구할 수 있다. 고등학교 1학년에서 취급되는 방정식은 사차방정식 중 상반방정식 · 복이차방정식의 특수한 경우를 제외하고는 정수근이 하나 이상 존재하도록 되어 있다.