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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 레비치비타 기호
Levi-Civita symbol선형대수학에서 사용되는 기호 중 하나로, 3차원 이상의 텐서를 정의할 때, 치환을 통하여 정의되는 텐서 집합이다. 이탈리아의 수학자 툴리오 레비치비타(Tullio Levi-Civita)의 이름에서 따 왔다.
일반적으로는 3차원에서 정의되며, 이 정의를 확장시켜 4차원 이상으로 확장시킨다.
3차원에서의 레비치비타 기호는 다음의 텐서다.
3차원 레비치비타 기호 [math(\epsilon_{ijk})]는 다음의 구성으로 이루어진 텐서다.
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[math(k=1)] [math(\epsilon_{ij1})] |
[math(k=2)] [math(\epsilon_{ij2})] |
[math(k=3)] [math(\epsilon_{ij3})] |
| [math(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix})] | [math(\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix})] | [math(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix})] |
이건 어디까지나 계산 결과이며, 실제로는 이렇게 정의한다.
[math(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})]이라는 순열이 존재할 때, [math(n)]개의 호환의 곱으로 만들어지는 [math(\begin{pmatrix} i & j & k \end{pmatrix})] 순열에 대응하는 [math(\epsilon_{ikj})]는 다음과 같이 정의된다.
[math(\epsilon_{ikj}=\left(-1\right)^n)] 즉, [math(epsilon_{ijk} = operatorname{sgn}begin{pmatrix} i&j&k end{pmatrix})]
또한, [math(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})]의 순열에 호환을 여러번 곱해도 만들어지지 못하는 [math(\begin{pmatrix} i & j & k \end{pmatrix})]에 대응되는 [math(\epsilon_{ijk})] 값은 0이 된다.
즉, 일반적으로 [math(\epsilon_{ijk}=\dfrac{(i-j)(j-k)(k-i)}{6})]가 된다.
[math(\epsilon_{ikj}=\left(-1\right)^n)] 즉, [math(epsilon_{ijk} = operatorname{sgn}begin{pmatrix} i&j&k end{pmatrix})]
또한, [math(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix})]의 순열에 호환을 여러번 곱해도 만들어지지 못하는 [math(\begin{pmatrix} i & j & k \end{pmatrix})]에 대응되는 [math(\epsilon_{ijk})] 값은 0이 된다.
즉, 일반적으로 [math(\epsilon_{ijk}=\dfrac{(i-j)(j-k)(k-i)}{6})]가 된다.
그렇기 때문에 다음 성질이 성립한다.
[math(\text{if}\ i=j \;\text{or}\; j=k \; \text{or}\; k=i, \epsilon_{ikj}=0)]
[math(\text{if}\ i\neq j \; \text{and}\; j\neq k\;\text{and}\; i\neq k, \left|\epsilon_{ikj}\right|=1)]
이를 확장하여, [math(n)]차원 레비치비타 기호는 다음과 같이 정의한다.
[math(A=\begin{pmatrix} i & j & k & l & \cdots \end{pmatrix}, \left| A\right|=n)]라고 할 때
[math(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n\end{pmatrix})]에 호환을 [math(m)]번 곱해서 [math(\begin{pmatrix} i & j & k & l & \cdots \end{pmatrix})]을 만들 수 있다면,
[math(\epsilon_{ikjl\cdots}=\left(-1\right)^{m})]
만들 수 없는 순열(순열의 2개 이상의 항이 중복할 경우)이라면 [math(\epsilon_{ikjl\cdots}=0)]이다.
[math(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n\end{pmatrix})]에 호환을 [math(m)]번 곱해서 [math(\begin{pmatrix} i & j & k & l & \cdots \end{pmatrix})]을 만들 수 있다면,
[math(\epsilon_{ikjl\cdots}=\left(-1\right)^{m})]
만들 수 없는 순열(순열의 2개 이상의 항이 중복할 경우)이라면 [math(\epsilon_{ikjl\cdots}=0)]이다.
2. 레비 치비타 기호와 크로네커 델타 기호
이 두 기호는 상당히 기묘한 관계가 있는데, 다음과 같이 레비치비타 기호 둘을 곱하면 크로네커 델타로 이루어진 행렬의 행렬식(deteminant)와 같다는 것을 알 수 있다.[math( \epsilon_{ijk} \epsilon_{lmn} = \det \left| \begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in}\\ \delta_{jl}& \delta_{jm} &\delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{array} \right| )]
이러한 레비치비타 기호를 두번 곱하여 크로네커 델타 기호로 바꾸는 방법은 물리학에서 벡터(3차원 공간이든 4차원 공간이든)계산에 많이 쓰이며 상당한 수준으로 수식을 단순하게 나타낼 수 있다.
참고로 크로네커 델타 기호는 다음과 같다.
[math(\text{if}\ i= j \;, \delta_{ij}=\delta^{i}_{j}=1)]
[math(\text{if}\ i\neq j \;, \delta_{ij}=\delta^{i}_{j}=0)]