벨 수

1. 개요

2. 성질

• 제2종 스털링 수 [math(S(n,\,k))]와는 다음과 같은 관계가 있다.
  

  [math(\displaystyle B_n = \sum_{k=0}^n S(n,\,k))]

  
  집합론을 이용한 제2종 스털링 수의 정의가 ‘[math(n)]개의 원소로 구성된 집합을 [math(k)]개로 분할하는 경우의 수’이므로 위의 관계는 자명하다.
• [math(B_n)]은 다음과 같은 점화식을 만족시킨다.
  

  [math(\displaystyle B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom nk B_k )]

  
  집합 [math(\{1,\,2,\cdots\cdots,\,n+1\})]을 분할한다고 하자. 이때 각각의 분할에서는 [math(1)]을 원소로 갖는 집합이 있을 것이다. [math(1)]을 원소로 갖는 집합의 원소의 개수가 [math(k)]가 되도록 분할하는 경우의 수는 [math(n)]개 중에서 [math(1)]을 제외한 [math((k-1))]개를 고르는 경우의 수 [math(\dbinom n{k-1})]에 나머지 [math(n-(k-1))]개의 원소를 분할하는 경우의 수 [math(B_{n-k+1})]를 곱한 값 [math(\dbinom n{k-1} B_{n-k+1})]임을 알 수 있다. [math(k)]는 [math(1)]부터 [math((n+1))]까지의 값을 취할 수 있고 [math(k)]가 다른 값을 취할 때 중복되는 경우는 없으므로 합의 법칙에 의하여
  

  [math(\displaystyle B_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1}\binom n{k-1}B_{n-k+1} = \sum_{k=0}^n \binom nk B_{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom n{n-k}B_k = \sum_{k=0}^n \binom nk B_k)]

3. 관련 문서

• 분할
• 분할수
• 제2종 스털링 수