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선형대수학 Linear Algebra |
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1. 개요
Hermitian inner product프랑스의 수학자 샤를 에르미트(Charles Hermite)가 복소 벡터공간에서 정의내린 특수한 내적을 의미한다. 원래 복소공간은 벡터공간의 성질을 그대로 유지하고 있기 때문에, 벡터합과 스칼라곱이 정의되지만, 자기 자신을 내적할 때 실수가 나와야 한다는 전제조건을 만족시키는 연산이 존재하지 않는다. 이걸 보완하기 위해 sesquilinear form[1]을 도입해서 새롭게 만들어진 연산이 바로 에르미트 내적이다.
2. 정의
에르미트 내적은 다음의 5가지 조건을 만족하는 함수 [math(\left< - , - \right> : V \times V \rightarrow \mathbb{C})]로 정의된다.| [math(\left<u+v, w\right>=\left<u, w\right>+\left<v, w\right>)] | |
| [math(\left<u, v+w\right>=\left<u, v\right>+\left<u, w\right>)] | |
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左선형-右켤레선형 [math(\left<\alpha u, \beta v\right>=\alpha\displaystyle{\overline{\beta}}\!\left<u, v\right>)] (단, [math(\alpha, \beta \in \mathbb{C})]) |
左켤레선형-右선형 [math(\displaystyle{\left<\alpha u, \beta v\right>=\overline{\alpha}}\beta\!\left<u, v\right>)] (단, [math(\alpha, \beta \in \mathbb{C})]) |
| [math(\left<u, v\right>=\displaystyle{\overline{\left<v,u\right>}})] | |
| [math(\left<u,u\right>\geq 0)],[2] 등호는 [math(u=0)]일 때만 성립 | |
다섯번째 조건에 의해 [math(\sqrt {\left<u,u\right>}=||u||)]로 표기할 수 있고, 이를 [math(u)]의 거리 혹은 노름이라 부르기도 한다. (즉, 삼각부등식을 만족시키고, 벡터공간의 노름의 성질도 만족시킨다.) 여기서 다섯번째 조건만 탈락하면 반쌍형적 형식의 정의가 되고, 이를 에르미트 형식(Hermitian form)이라 부르기도 한다. 에르미트 형식에 양의 정부호성 조건을 추가하면 내적의 조건을 만족하며 에르미트 내적이라 부른다.
참고로 위의 정의에서 옅은 보라색 배경으로 처리된 세번째 조건의 경우, 전자는 왼쪽 변수에 대해 선형이고 오른쪽 변수에 대해 켤레선형(conjugate linear)적이지만 논문이나 서적에 따라서는 후자처럼 반대로 정의할 수도 있으며 이에 대한 원칙은 의외로 확고하지 않다. 응용수학적 논의를 염두에 두지 않는다면 수학계에서는 대개 전자의 관행을 따르지만, 순수수학계에서도 비가환 모듈을 다루면서 스칼라곱이 정의되는 방향에 따라 右모듈에서 내적을 정의할 경우를 비롯해 몇몇 분야의 일부 연구자들이 후자의 표기를 선택하기도 한다. 한편 물리학, 공학, 컴퓨터과학 계열에서는 거의 반드시 후자를 택한다.[3] 이런 관습의 차이는 멀게는 [math(\R^n)]의 원소를 [math(n\times1)]과 [math(1\times n)] 행렬 중 어느 꼴로 표기해야 하는지에서부터 비롯된 제법 뿌리 깊은 차이이기도 하다.[4]
한편, 左켤레선형-右선형 표기를 따르는 물리학자들은 아예 벡터 표기에 있어 폴 디랙이 도입한 희한한(?) 표기법을 쓰기도 하는데, 이에 대해서는 디랙 표기법 문서를 참고.
3. 예시
기본적인 예시로는 [math(\mathbb{C}^n)]상에서 [math(z=(z_1, z_2, \cdots\!, z_n))], [math(w=(w_1, w_2, \cdots\!, w_n))]에 대해 [math(\displaystyle \left<z,w\right> = \sum_{i=1}^n z_i \overline{w_i})]로 정의하는 내적이 있다. 마치 유클리드 공간의 기본 내적(standard inner product) 정도의 지위를 갖고 있는 녀석이다.유클리드 공간에도 다른 내적이 있듯이 [math(\mathbb{C}^n)] 위에서도 다른 내적이 있고, 이들은 모두 에르미트 행렬 (즉, [math(A^*=A)])에 대해 [math(\left<z,w\right> = \bar{w}^{\sf T}\!Az)]의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다. 물론 저렇게만 쓰면 에르미트 형식이고, [math(A)]의 고윳값이 모두 0보다 큰 양의 정부호성(positive definiteness)을 만족해야 내적이 될 수 있다.
공간 위의 함수에 대해 [math(\displaystyle \left<f,g\right> = \int \!f(x) \overline{g(x)} \,{\rm d}x)]를 [math(L^2)] 내적이라 부르고, 이 [math(L^2)] 내적이 유한한 함수들의 벡터공간을 [math(L^2)] 공간이라 부른다.
4. 힐베르트 공간
에르미트 내적을 갖고 있고, 이 에르미트 내적으로 정의된 거리에 대해 완비성(completeness)을 가진 (즉 임의의 코시수열이 수렴하는) 공간을 힐베르트 공간(Hilbert space)이라 부른다. 모든 유한차원의 에르미트 내적공간과 [math(L^2)] 공간 모두 힐베르트 공간이지만, 모든 에르미트 내적공간이 완비성을 지닌 것은 아니다. 다만 완비화(completion)의 과정을 통해 힐베르트 공간으로 만들어줄 수는 있다.
[1]
대한수학회의 공식 번역명은 반쌍형적 형식. 본문에 표기한 에르메트 내적은
左선형-
右켤레선형성 형식을 우선적으로 표기하며, 左켤레선형-右선형성 형식도 병기한다.
[2]
네번째 조건을 이용하면 [math(\left<u,u\right>)]는 항상 실수라는 것을 증명할 수 있으므로, 부등호가 의미를 갖는다.
[3]
이공계생들에게 유명한 Erwin Kreyszig의 교과서를 예로 들면,
공업수학 교과서에서는 추상적인 복소내적공간에 대해 본격적으로 소개하지는 않으나 복소벡터간의 도트곱을 정의함에 있어 左켤레선형-右선형 정의를 취한 반면
함수해석학 교과서에서는 左선형-右켤레선형 정의를 취한 바 있다.
[4]
비전공자들이 보기엔 쪼잔하리만치 엄밀하고 추상적인 서술로 악명 높은 명저 <선형대수와 군>에서는 종이를 아끼겠다고 가로로 써놓은 [math(\R^n)] 벡터에다가도 [math((1,2,3)^{\sf T})] 같은 꼴로 꼬박꼬박 전치 표기를 해놓을 정도이다.