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상대성 이론 Theory of Relativity |
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Lorentz factor
로런츠 인자는 상대성 이론에서 사용되는 기호로서 시간 지연, 길이 수축과 상대론적 좌표 변환 등에 사용되는 인자이며, 일반적으로 [math(\gamma)][1]로 표기한다. 로런츠 인자는 아래와 같이 정의된다. [math(v)]는 물체 혹은 어떤 좌표계의 속력이며, [math(c)]는 진공 중에서의 광속이다.
| [math(\gamma \equiv \dfrac1{\sqrt{1 - \left( \dfrac vc\right)^2}})] |
로런츠 인자가 의미하는 기하학적인 의미를 초급적으로 살펴보자. 아래의 그림 (가)와 같이 관성 좌표계의 외부 관측자에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 우주선을 고려하자. 우주선 바닥에는 바닥과 수직인 방향으로 레이저가 장착되어 있고, 천장에는 평면 거울이 장착되어 있다. 레이저에서 빛을 방사하면 우주선 안의 관측자는 그림의 청색 경로로 움직이는 것을 관측할 것이고, 외부 관측자는 그림의 적색 경로로 빛이 움직였다고 관측할 것이다. 외부 관측자와 우주선 안의 관측자가 레이저에 빛이 나옴을 관측하는 순간 사건과 거울에 반사되어 다시 레이저로 돌아왔을 때 사건 사이의 시간 간격을 각각 [math(\Delta T)], [math(\Delta T')]이라 하자. 이때, (나)가 성립하게 될 것이다. [math(c)]는 광속이다.
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피타고라스 정리를 사용하면
| [math(\displaystyle \begin{aligned} c^{2} \left( \frac{\Delta T'}{2} \right)^2 &= (c^2-v^2)\left( \frac{\Delta T}{2} \right)^2 \\ (\Delta T')^2 &=\left[1-\left(\frac{v}{c}\right)^2 \right] (\Delta T)^2 \\ \\ \therefore \frac{\Delta T}{\Delta T'}&=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^2}} \end{aligned} )] |
아래는 로런츠 인자를 그래프로 나타낸 것으로 [math(v\to c)]일 때, [math(\gamma\to\infty)]이고, [math(v/c \ll 1)]일 때, [math(\gamma \simeq 1)]임을 알 수 있다.
이와 관련하여 자세한 내용은 상대성 이론 문서를 참고하라.
[1]
표기가 같은
오일러-마스케로니 상수 [math(\displaystyle \gamma =\int_1^\infty \left( \frac 1{\lfloor x \rfloor} - \frac 1x \right){\rm d}x)]와의 혼동에 주의.