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1. 개요
예산선( 豫 算 線, budget line)이란, 각 재화의 가격과 소비자의 소득이 주어졌을 때 모든 소득을 지출하여 소비할 수 있는 경우를 나타낸 선이다.예를 들어 간단히 말하자면, 200원짜리 초콜릿과 100원짜리 사탕이 있다고 하자. 그리고 주어진 소득이 총 1000원이라고 해보자. 이때 초콜릿과 사탕을 살 수 있는 개수의 순서쌍은 (5,0), (4,2), (3,4), (2,6), (1,8), (0,10) 등등이 된다. 이 점들을 좌표평면 상에 나타내서 모두 이은 것이 예산선이다. 여기서 그래프의 면적은 소비자의 구매력, 그래프의 기울기는 상대가격을 의미한다.
기본적으로는 미시경제학의 소비자이론에서 등장하는 개념이지만 거시경제학에서도 심심찮게 등장하는, 경제학의 기본 개념이다.
2. 예산제약과 예산집합
가장 간단하게, 두 개의 재화를 소비할 때 생기는 제약을 생각해 보자. 재화 [math(i)]([math(i=1, 2)]) 한 단위의 가격을 [math(p_i)]라고 하자. 그러면 우선 [math(p_i>0)]이다. 상식적으로 아무 대가 없이 공짜로([math(p_i=0)]), 혹은 오히려 돈을 주면서([math(p_i<0)]) 재화를 공급하지는 않기 때문이다.[1] 두 재화의 가격이 [math((p_1,\,p_2))]이면, 소비묶음 [math((x_1,\,x_2))]의 총 가격은 [math(p_1x_1+p_2x_2)]이다. 소비자가 갖고 있는 총 금액을 [math(m)]이라고 하면[math(p_1x_1+p_2x_2\leq m)]
이어야 한다. 만약 그렇지 않으면 [math(p_1x_1+p_2x_2-m)]만큼의 금액이 부족하여 [math((x_1,\,x_2))]를 구매할 수 없기 때문이다. 이러한 부등식으로 나타내어지는 조건을 예산제약( 豫 算 制 約, budget constraint), 예산제약을 만족시키는 소비묶음의 집합을 예산집합( 豫 算 集 合, budget set)이라고 하며 [math(B(p_1,\,p_2,\,m))]으로 쓴다. 예산집합을 조건제시법으로 나타내면 다음과 같다.
| [math(B(p_1,\,p_2,\,m)=\{(x_1,\,x_2)\;|\;p_1x_1+p_2x_2\leq m,\;x_1\geq 0,\;x_2\geq 0\})] |
3. 예산선
[math(p_1x_1+p_2x_2=m)]
으로 나타내어지는 직선을 예산선이라고 하며, 이는 모든 소득을 사용하여 구매할 수 있는 소비묶음들의 집합이라고 할 수 있다.
3.1. 성질
- 예산선의 기울기는 음(-)
[math(x_2=-\dfrac{p_1}{p_2}x_1+\dfrac{m}{p_2})]
이므로, [math(x_1)]을 횡축에, [math(x_2)]를 종축에 놓으면 예산선의 기울기는 [math(-\dfrac{p_1}{p_2})]이 된다. [math(p_1>0,\;p_2>0)]이므로 기울기는 음이다. 경제학적인 직관으로는, 소득 [math(\boldsymbol m)]에서 한 재화를 더 많이 사려면 다른 재화를 덜 살 수밖에 없다는 의미가 된다.
이 기울기의 절댓값 [math(\dfrac{p_1}{p_2})]은 재화2로 나타낸 재화1의 상대가격이자, 재화1 한 단위를 더 소비할 때의 기회비용이자, 두 재화의 객관적 교환비율( 客 觀 的 交 換 比 率, objective exchange ratio)을 의미한다. 시장 가격은 누구에게나 동일하게 적용되는 객관적 가치이기 때문이다. 한계대체율을 주관적 교환비율이라고 하는 것과 함께 기억하는 편이 좋다. 한계대체율 참고.
4. 예산집합의 변화
예산집합을 [math(B(p_1,\,p_2,\,m))]으로 쓰는 만큼, 예산집합은 각 재화의 가격과 소득에 의존한다. 그러므로 각 재화의 가격이나 소득이 변하면 예산집합은 변한다.4.1. 소득의 변화
두 재화의 가격은 고정되어 있고 소득만 [math(m)]에서 [math(m')]으로 변하는 경우를 알아보자. 새로운 예산선은 [math(p_1x_1+p_2x_2=m')]이 된다. 그러면 최대로 구매할 수 있는 재화1과 재화2의 양은 각각 [math(m'/p_1)], [math(m'/p_2)]이다. 따라서 소득이 증가하면([math(m<m')]) 최대로 구매할 수 있는 각 재화의 양도 증가하며, 소득이 감소하면([math(m>m')]) 최대로 구매할 수 있는 각 재화의 양도 감소한다. 다음 그림을 보자.예산선의 기울기는 두 재화의 상대가격이라고 했다. 그러므로 소득만 변한다면 예산선의 기울기는 [math(-p_1/p_2)]으로 일정하여, 소득이 변하면 예산선은 평행이동한다. 소득이 증가하면 원점에서 멀어지는 방향으로, 감소하면 가까워지는 방향으로 평행이동한다.
4.2. 가격의 변화
먼저, 두 재화 중 어느 하나의 가격이 변하는 경우를 알아보자. 다음 그림에서, 흑색 예산선은 변화 전, 적색 예산선은 변화 후의 예산선이다.최대로 소비할 수 있는 재화의 양은 소득과 가격에 의존하는데, 소득이 고정된 상태에서 가격이 오르면 이 양은 감소하고, 내리면 증가한다. 따라서 가격이 변한 재화는 이 양이 변하고, 그렇지 않은 재화는 이 양도 변하지 않는다. 최대로 소비할 수 있는 재화의 양은 예산선의 양 끝 점으로 나타나며, 소득만 변하는 경우와 달리 어느 한 재화의 가격이 변하면 상대가격도 변하므로 예산선의 기울기가 변한다. 따라서 다음과 같은 결론이 나온다.
- [math(\rm(a))]: 재화1 가격 증가 → 최대로 소비할 수 있는 재화1의 양 감소 → 상대가격 증가 → 예산선 기울기 급해짐 → 예산선 시계방향으로 회전이동
- [math(\rm(b))]: 재화1 가격 감소 → 최대로 소비할 수 있는 재화1의 양 증가 → 상대가격 감소 → 예산선 기울기 완만해짐 → 예산선 반시계방향으로 회전이동
- [math(\rm(c))]: 재화2 가격 증가 → 최대로 소비할 수 있는 재화2의 양 감소 → 상대가격 감소 → 예산선 기울기 완만해짐 → 예산선 반시계방향으로 회전이동
- [math(\rm(d))]: 재화2 가격 감소 → 최대로 소비할 수 있는 재화2의 양 증가 → 상대가격 증가 → 예산선 기울기 급해짐 → 예산선 시계방향으로 회전이동
곧, 소득이 고정된 상태에서 두 재화 중 어느 하나의 가격이 변하면 예산선은 위 그림과 같이 회전이동하며, 위 그림과 같이 어느 한 재화의 가격이 증가하면 예산집합은 축소되며, 감소하면 확대된다.
두 재화의 가격이 모두 변하는 경우를 알아보자. 이 경우 최대로 소비할 수 있는 재화의 양은 재화1과 재화2의 경우 모두 변한다. 또한, 예산선의 기울기는 상대가격으로서 [math(p_1/p_2)]이므로 다음과 같이 고찰할 수 있다.
재화1, 재화2의 변화 전의 가격을 각각 [math(p_1)], [math(p_2)]라 하고, 변화 후의 가격을 [math({p_1}')], [math({p_2}')]이라 하면 다음이 성립한다.
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4.3. 소득과 가격의 동시 변화
소득과 두 재화의 가격이 모두 같은 비율로 변하면, 예산선에는 변화가 없다. 예산선의 방정식이 [math(p_1x_1+p_2x_2=m)]인데, 변화 후의 예산선의 방정식은 양변에 변화 비율을 곱한 것과 같기 때문이다. 등식의 양변에 같은 수를 곱해도 본질적인 의미가 변하지는 않는다. 곧, 예산집합은 가격과 소득에 대하여 0차 동차(homogeneous of degree 0 in prices and income)이다. 다음 그림을 참고하자. 변화비율을 [math(\lambda)]라 하면 예산선은 다음과 같다.이것의 경제학적 의미를 알아보자. 우선, [math({p_1}'=\lambda p_1)], [math({p_2}'=\lambda p_2)], [math(m'=\lambda m)]이다. 이는 화폐단위를 [math(1/\lambda)]의 비율로 변경한다는 의미이다. 예를 들어 [math(\lambda=1000)]일 때 1달러를 1000원으로 환산하는 것과 같다. 그러면 '1원'이라는 화폐단위는 기존의 화폐단위 '1달러'의 1000분의 1이기 때문이다. 1000원이 1달러이므로, 모든 재화의 가격과 소득은 '달러'로 표시할 때에 비해 '원'으로 표시할 때 1000배가 된다. 그러나 이와 같은 변경 사항이 예산선에 영향을 줄 리 만무하다. 예산선은 소비자가 구매할 수 있는 소비묶음의 범위를 규정하는 데 의미가 있으므로, 얼마든지 자의적으로 결정할 수 있는 화폐단위와는 아무 관계가 없는 것이다.
4.4. 물량할당
정부나 판매자[2]가 구매자에게 소비할 수 있는 최대한의 양을 제한하는 일을 물량할당( 物 量 割 當, rationing)이라고 한다. 이 경우 본디 갖고 있는 소득으로 충분히 소비할 수 있는 소비묶음이 판매 정책으로 인하여 소비할 수 없게 되는 셈이며, 그만큼 예산집합은 축소된다. 다음 예를 보자.|
[math(p_1=p_2=1)], [math(m=5)]인 상황에서 재화1을 4단위 이하로만 소비하도록 물량할당이 이루어진 경우, 예산집합을 그려보자. [math(p_1x_1+p_2x_2=m)]에 문제의 값을 대입하면 직선의 방정식 [math(y=-x+5)]가 된다. 이것이 물량할당 전의 예산선의 방정식이며, 따라서 예산집합은 직각삼각형으로 표현된다. 그런데 물량할당으로 인해 [math(x_1\leq 4)]이어야 하므로 [math(x_1>4)]인 부분은 더 이상 소비할 수 없게 되므로 그만큼 예산집합은 축소된다. 곧, 위 그림의 색칠된 부분을 제외한 사다리꼴 모양이 물량할당 후의 예산집합이다. |
대표적인 예시로 2020년 상반기에 시행했었던 마스크 5부제가 있다. 2차대전 당시 영국의 사례처럼, 평시에 시장경제체제인 국가들이 전시(戰時)에 일시적으로 배급제를 시행하는 것 역시 물량할당의 예시라 할 수 있다.
4.5. 현금보조와 현물보조
현금보조( 現 金 補 助, cash subsidy)는 주로 정부가 취약 계층의 최저 생활을 보장하기 위하여 현금을 지급하는 복지 제도이다. 반면 현물보조( 現 物 補 助, in-kind subsidy)는 현금 대신 '현물'로 보조하는 방법이다. 이렇게 하는 이유는, 현금으로만 보조하면 보조금을 받은 소비자가 그 보조금을 정책의 의도에 맞지 않게 사용하는 경우가 있기 때문이다. 이를 방지하고자 정부 차원에서 감독을 실시하기도 쉽지 않다. 따라서 정책이 본래 의도를 달성하게 하기 위하여 처음부터 '물건'을 지급하는 것이다. 이렇게 지급된 물건을 소비자가 되팔아 현금을 챙기기란 일반적으로 쉽지 않다.[3] 이제 현금보조와 현물보조를 실시할 때의 예산집합의 변화를 알아보자.보조 전의 예산선은 흑색, 보조 후의 예산선은 적색으로 표시했다.
먼저, 소득이 [math(m)]인 소비자에게 정부가 보조금을 '현금'으로 [math(m')]만큼 제공하면 소비자의 소득은 [math(m+m')]으로 증가한다. 이 경우 재화의 가격은 그대로이고 소득만 증가했으므로 예산선은 원점에서 멀어지는 방향으로 평행이동한다. 따라서 현금보조는 앞서 살펴본 소득 증가에 따른 예산선의 평행이동과 다를 것이 없다.
반면, [math(m')]만큼의 '현금'으로 살 수 있는 최대한의 재화1의 양인 [math(m'/p_1)]단위를 '현물(재화1)'로 보조한 경우, 소비자는 자신의 소득을 모두 사용하더라도 보조받은 만큼의 재화1 [math(m'/p_1)]단위를 소비할 수 있기 때문에 그만큼 예산집합이 확대된다. 위 그림에 나타나 있듯이, 기존 예산선은 재화1을 나타내는 횡축 방향으로 [math(m'/p_1)]만큼 평행이동했다. 한편, 재화2의 최대 소비량은 그대로 [math(m/p_2)]이므로 예산집합은 직선 [math(x_2=m/p_2)] 위로 올라갈 수 없다. 따라서 [math(0\leq x_1\leq m'/p_1)]의 구간에서는 예산선이 횡축에 평행한 직선 [math(y=m/p_2)]으로 그려진다.
혹은 위 그림처럼 재화2를 현물보조할 수도 있다. 위 그림은 [math(m')]만큼의 현금으로 살 수 있는 최대한의 재화2의 양인 [math(m'/p_2)]단위를 현물(재화2)로 보조한 경우를 나타낸다. 이 경우 보조받은 만큼의 재화2 [math(m'/p_2)]단위를 추가로 소비할 수 있기 때문에 그만큼 종축 방향으로 예산집합이 확대된다. 한편 재화1의 최대 소비량은 변하지 않으므로 예산집합은 직선 [math(x_1=m/p_1)] 오른쪽으로 갈 수 없다.
요컨대, 현물보조의 예산집합이 현금보조의 예산집합보다 작은 이유는, 현금으로는 재화1과 재화2 중 그 어떤 재화도 소비할 수 있지만 현물은 그 자체로 어느 한 재화로 국한되어 있기 때문이다.
4.6. 보조금과 세금
정부는 특정 재화의 소비를 장려하기 위하여 보조금을, 억제하기 위하여 세금을 매길 수 있다. 보조금은 음의 세금으로 생각할 수 있으므로, 보조금과 세금의 본질은 그다지 다르지 않다. 예를 들어 정부가 재화1에 [math(t)]원의 세금을 부과할 때, [math(t>0)]이면 말 그대로 세금이고, [math(t<0)]이면 보조금인 것이다. 세금이든 보조금이든, 새로운 예산선은 다음과 같다.[math((p_1+t)x_1+p_2x_2=m)]
이는 여전히 직선의 방정식이며, 예산집합은 직각삼각형으로 표현된다. 곧, 재화에 세금이나 보조금을 매기는 것은 각각 재화의 가격을 올리거나 내리는 것과 같다. 이는 위에서 살펴본 가격의 변화에 따른 예산선의 회전이동과 같다.
4.6.1. 누진세와 역진세
4.7. 기본료
상술의 일환으로, 어떤 재화를 소비하기 이전에 미리 기본료를 내도록 하는 경우가 있다. 놀이동산에서 여러 가지 재화와 서비스를 누리기 위해 입장료를 지불한다거나, 일정 멤버십 가입비를 낸 소비자들에 한해 물건을 구입할 수 있도록 하는 것이 그 예이다. 재화를 소비하기 위해 기본료를 내야 할 때의 예산집합을 구해 보자.|
[math(p_1=p_2=1)], [math(m=5)]인데 재화1을 소비하기 위해 기본료 2를 지불하는 경우의 예산집합을 그려보자. 재화1만을 소비하려면 먼저 기본료 2를 지불해야 하므로 남은 소득 3으로 재화1을 최대 3단위 구입할 수 있다. 따라서 예산선은 점 [math((3,\,0))]을 지난다. 재화2만을 소비하려면 기본료를 지불하지 않아도 되므로 그냥 소득 5로 재화2를 최대 5단위 구입할 수 있다. 따라서 예산선은 점 [math((0,\,5))]를 지난다. 이때, [math(x_1>0)]이면 [math(m=3)], [math(x_1=0)]이면 [math(m=5)]인 것이다. 따라서 예산선의 방정식과 그래프는 다음과 같다. [math(\begin{cases}x_1=0\quad&(x_1=0)\\x_1+x_2=3\quad&(x_1>0)\end{cases})] [math((0\leq x_1\leq3,\,0\leq x_2\leq5))] 재화2를 소비할 때는 기본료를 내지 않는다는 것을 상기하자. 이 때문에 예산집합은 점 [math((0,\,3))]과 [math((0,\,5))]를 이은 선분을 포함한다. |
4.8. 실물부존
위에서는 모두 구매력을 화폐로 보유하는 경우를 가정했는데, 때로는 재화를 구매력으로 하는 경우가 있다. 구매력을 화폐 대신 재화로 갖는 경우 그 재화를 실물부존( 實 物 賦 存, real endowment)이라고 한다. 이 경우의 예산집합을 알아보자.가격이 [math(p_1)]인 재화1과 가격이 [math(p_2)]인 재화2에 대하여, 재화1 한 단위는 객관적 교환비율에 따라 재화2 [math(p_1/p_2)]단위와 교환된다. 소비자가 재화1을 5단위, 재화2를 10단위 갖고 있다고 하자. 먼저, 소비자가 재화1을 [math(x_1)]단위 소비하면 재화1은 [math((5-x_1))]단위가 남는다. 이 재화1 [math((5-x_1))]단위는 재화2 [math(p_1/p_2\times(5-x_1))]단위와 교환된다. 그런데 원래는 재화2를 10단위 갖고 있었으므로 최종적으로 얻게 되는 재화2는 [math(x_2=10+p_1/p_2\times(5-x_1))]단위이다. 양변에 [math(p_2)]를 곱해 정리하면 다음과 같다.
[math(p_1x_1+p_2x_2=5x_1+10x_2)]
이는 다름 아닌 실물부존의 예산선이다. 왜냐하면 재화1을 [math(x_1)]단위 소비하고 남은 나머지 재화로 소비할 수 있는 재화2의 최대한의 양을 [math(x_2)]단위라고 할 때, 위와 같은 과정을 거쳐 [math(x_1)]과 [math(x_2)] 사이의 관계식이 도출되기 때문이다. 주목할 점은, 위 식의 5과 10은 다름이 아니라 처음에 갖고 있던 재화1과 재화2의 양이라는 것이다. 곧, 구매력을 화폐가 아닌 재화로 보유할 경우 그 재화들의 객관적 가치(시장 가격)의 총합이 소득의 역할을 한다.
이를 일반화해 보자. 재화1을 [math(\omega_1)]단위, 재화2를 [math(\omega_2)]단위 보유할 경우 실물부존의 예산선의 방정식은
[math(p_1x_1+p_2x_2=p_1\omega_1+p_2\omega_2)]
이며, 우변을 전부 좌변으로 이항하면 다음을 얻는다.
[math(p_1(x_1-\omega_1)+p_2(x_2-\omega_2)=0)]
결국 실물부존의 예산선은 각 재화의 가격에 관계없이 점 [math(\boldsymbol{(\omega_1,\,\omega_2)})]를 지나며 이 점을 실물부존점이라고 한다. 처음부터 재화1을 [math(\omega_1)]단위, 재화2를 [math(\omega_2)]단위 보유하고 있었으므로 이를 모두 사용하여 다시 재화1을 [math(\omega_1)]단위, 재화2를 [math(\omega_2)]단위 구매할 수 있음은 자명한데, 여기에 재화의 가격은 아무런 영향을 미치지 못한다는 것이 실물부존점의 의미이다. 다음 그림을 보자.
이와 같이 두 재화의 상대가격에 따라 예산선의 기울기는 변하지만, 예산선 자체는 항상 실물부존점 [math((\omega_1,\,\omega_2))]를 지난다. 상대가격이 증가하면 예산선은 실물부존점을 중심으로 시계방향으로, 감소하면 반시계방향으로 회전이동한다.
5. 다변수로의 확장
위에서는 간단하게 재화가 두 개인 경우만 알아 보았지만, 재화가 셋 이상인 경우도 일반적으로 설명할 수 있다. 예를 들어 소비묶음은[math(\bold x=(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)\in\mathbb{R}_+^n)]
로 쓸 수 있다. 곧, 소비묶음은 음이 아닌 [math(n)]차원 공간의 원소인 것이다.