레퓨닛 수

정수론 Number Theory
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1. 개요2. 레퓨닛 소수3. 소인수분해4. 제곱

1. 개요

레퓨닛 수(repunit)는 십진법에서 1이 늘어선 수[1]를 의미하며, 십진법의 경우 [math(1)]이 [math(n)]개 늘어선 수를 [math(\displaystyle\frac{10^{n}-1}{9})]로 나타낼 수 있다. R_n과 같은 방식으로 표기하기도 한다. 레퓨닛 소수는 10진법에서의 단위 반복 소수와 같다. [2]
여담으로, 이와 관련된 또다른 자릿수에 따른 소수의 분류와 단위 반복 소수(2, 10진법의 경우 각각 메르센 소수, 레퓨닛 소수)는 연관성이 매우 높고, 깊은 걸 보니 이들의 관계에 대해서 설명해보자면 회문 소수가 아니면서 거꾸로 뒤집었을 때, 여전히 소수가 되는 소수는 치환 가능 소수라고 한다. 물론 모든 회문 소수가 아닌 재배열 가능 소수는 모두 치환 가능 소수이다. (다만 주어진 진법에서의 모든 자릿수가 1로 된 단위 반복 소수[3] [4] 는 모두 회문 소수이기 때문에 제외한다) 라고 부른다. 이는 수소와도 관련이 있는데, 수소란 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합을 한 자리 수가 될 때까지 반복했을 때, 나타나는 수들도 전부 소수인 소수를 말한다. 물론 네 자리 이상이 되면 해당 소수들을 각 자리 숫자의 합으로 가지는 수가 모두 100자리가 넘기에 매우 커져 나타내기는 힘들겠지만 말이다. 이런 경우는 n진법에서 각 자리 숫자의 합이 p라고 할때, p가 n-1의 소인수이면 무조건 p의 배수가 되므로 소수일 수 없다. 따라서 n-1이 소수나 소수의 제곱과 같이 약수의 개수가 적은 수여야 하고, 각 자리 숫자의 합은 한자리수가 될때까지 반복할 때, n-1의 소인수가 아닌 수가 최종적으로 나와야 하는데, 이런 경우는 최소 6진법부터 존재할 수 있다. 그리고 나중에는 각종의 기수법 별로 이러한 특성을 가진 소수의 목록이나 n진법에서 1이 k개만큼 늘어선 수의 소인수분해 및 소수 p에 대하여 n진법에서 1이 p개만큼 늘어선 수가 소수가 되게하는 n의 값에 해당하는 수, 그리고 m진법에서 1이 k개만큼 늘어선 수가 소수가 되게 하는 k의 값에 해당하는 소수의 목록도 만들어보면 된다. 참고로, n이 2 이상의 자연수일 때, n의 값에 관계없이 n진법에서 1이 p개만큼 늘어서있을 때, p=mk이고, k, m은 각각 2 이상의 자연수라고 한다면 1이 p개만큼 늘어선 수는 무조건 n진법에서 1이 p의 약수개만큼 늘어선 수로 나누어떨어지게 되므로 n진법에서 1이 m개만큼 늘어선 수와 1이 k개만큼 늘어선 수를 약수로 가지게 되어 소수일 수 없다. 또한 앞에서도 말했듯이 k가 n-1의 소인수인 소수이면 n진법에서 1이 k개만큼 늘어선 수는 무조건 k의 배수가 되므로 소수가 될 수 없다.

10과 서로소인 수는 레퓨닛 합성수를 반드시 배수로 가진다.

2. 레퓨닛 소수

한편 1의 개수가 소수 개일 경우 해당 수가 소수가 될 수도 있으나, 그렇지 않은 경우가 더 많다. 1의 개수가 합성수일 경우 해당 수는 무조건 합성수이며, 해당 수를 균등하게 나눈 수로 나누어떨어진다.[5] 레퓨닛 소수는 각 자릿수를 배열하는 방법이 한 가지이므로 무조건 재배열 가능 소수이다.

현재 알려진 레퓨닛 소수는 다음과 같이 총 11개이다.

[math(n)]	[math(\displaystyle\frac{10^{n}-1}{9})]
2	11
19	1111111111111111111
23	11111111111111111111111
317	R₃₁₇(1이 317개)
1031	R₁₀₃₁
49081	R₄₉₀₈₁
86453	R₈₆₄₅₃
109297	R₁₀₉₂₉₇
270343	R₂₇₀₃₄₃
5794777	R_5794777
8177207	R_8177207

3. 소인수분해

R₉₀까지의 소인수분해의 결과는 다음과 같다. 굵게 표시한 수는 1이 소수 개 늘어선 수이며, 나머지 레퓨닛 수들의 소인수분해는 여기에서 R_300,000까지 확인할 수 있다.

R₁=1( 소수도 합성수도 아님)
R₂=11(소수)
R₃=3×37(합성수)
R₄=11×101(합성수)
R₅=41×271(합성수)
R₆=3×7×11×13×37(합성수)
R₇=239×4649(합성수)
R₈=11×73×101×137(합성수)
R₉=3²×37×333667(합성수)
R₁₀=11×41×271×9091(합성수)
R₁₁=21649×513239(합성수) [6]
R₁₂=3×7×11×13×37×101×9901(합성수)
R₁₃=53×79×265371653(합성수)
R₁₄=11×239×4649×909091(합성수)
R₁₅=3×31×37×41×271×2906161(합성수)
R₁₆=11×17×73×101×137×5882353(합성수)
R₁₇=2071723×5363222357(합성수)
R₁₈=3²×7×11×13×19×37×52579×333667(합성수)[7]
R₁₉=1111111111111111111(소수)
R₂₀=11×41×101×271×3541×9091×27961(합성수)
R₂₁=3×37×43×239×1933×4649×10838689(합성수)
R₂₂=11²×23×4093×8779×21649×513239(합성수)
R₂₃=11111111111111111111111(소수)
R₂₄ = 3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R₂₅ = 41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R₂₆ = 11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R₂₇ = 3^3 · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R₂₈ = 11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R₂₉ = 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R₃₀ = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161
R₃₁ = 2791 · 6943319 · 57336415063790604359
R₃₂ = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 69857 · 5882353
R₃₃ = 3 · 37 · 67 · 21649 · 513239 · 1344628210313298373
R₃₄ = 11 · 103 · 4013 · 2071723 · 5363222357 · 21993833369
R₃₅ = 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 123551 · 102598800232111471
R₃₆ = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 101 · 9901 · 52579 · 333667 · 999999000001
R₃₇ = 2028119 · 247629013 · 2212394296770203368013
R₃₈ = 11 · 909090909090909091 · 1111111111111111111
R₃₉ = 3 · 37 · 53 · 79 · 265371653 · 900900900900990990990991
R₄₀ = 11 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5964848081
R₄₁ = 83 · 1231 · 538987 · 201763709900322803748657942361
R₄₂ = 3 · 7^2 · 11 · 13 · 37 · 43 · 127 · 239 · 1933 · 2689 · 4649 · 459691 · 909091 · 10838689
R₄₃ = 173 · 1527791 · 1963506722254397 · 2140992015395526641
R₄₄ = 11^2 · 23 · 89 · 101 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261
R₄₅ = 3^2 · 31 · 37 · 41 · 271 · 238681 · 333667 · 2906161 · 4185502830133110721
R₄₆ = 11 · 47 · 139 · 2531 · 549797184491917 · 11111111111111111111111
R₄₇ = 35121409 · 316362908763458525001406154038726382279
R₄₈ = 3 · 7 · 11 · 13 · 17 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 5882353 · 99990001 · 9999999900000001
R₄₉ = 239 · 4649 · 505885997 · 1976730144598190963568023014679333
R₅₀ = 11 · 41 · 251 · 271 · 5051 · 9091 · 21401 · 25601 · 182521213001 · 78875943472201
R₅₁ = 3 · 37 · 613 · 210631 · 2071723 · 52986961 · 5363222357 · 13168164561429877
R₅₂ = 11 · 53 · 79 · 101 · 521 · 859 · 265371653 · 1058313049 · 1900381976777332243781
R₅₃ = 107 · 1659431 · 1325815267337711173 · 7198858799491425660200071
R₅₄ = 3^3 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 757 · 52579 · 333667 · 70541929 · 14175966169 · 440334654777631
R₅₅ = 41 · 271 · 1321 · 21649 · 62921 · 513239 · 83251631 · 1300635692678058358830121
R₅₆ = 11 · 29 · 73 · 101 · 137 · 239 · 281 · 4649 · 7841 · 909091 · 121499449 · 127522001020150503761
R₅₇ = 3 · 37 · 21319 · 10749631 · 1111111111111111111 · 3931123022305129377976519
R₅₈ = 11 · 59 · 3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397 · 154083204930662557781201849
R₅₉ = 2559647034361 · 4340876285657460212144534289928559826755746751
R₆₀ = 3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 61 · 101 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 3541 · 9091 · 9901 · 27961 · 2906161 · 4188901 · 39526741
R₆₁ = 733 · 4637 · 329401 · 974293 · 1360682471 · 106007173861643 · 7061709990156159479
R₆₂ = 11 · 2791 · 6943319 · 57336415063790604359 · 909090909090909090909090909091
R₆₃ = 3^2 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10837 · 23311 · 45613 · 333667 · 10838689 · 45121231 · 1921436048294281
R₆₄ = 11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 353 · 449 · 641 · 1409 · 19841 · 69857 · 976193 · 5882353 · 6187457 · 834427406578561
R₆₅ = 41 · 53 · 79 · 271 · 265371653 · 162503518711 · 5538396997364024056286510640780600481
R₆₆ = 3 · 7 · 11^2 · 13 · 23 · 37 · 67 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 599144041 · 183411838171 · 1344628210313298373
R₆₇ = 493121 · 79863595778924342083 · 28213380943176667001263153660999177245677
R₆₈ = 11 · 101 · 103 · 4013 · 2071723 · 28559389 · 1491383821 · 5363222357 · 21993833369 · 2324557465671829
R₆₉ = 3 · 37 · 277 · 203864078068831 · 11111111111111111111111 · 1595352086329224644348978893
R₇₀ = 11 · 41 · 71 · 239 · 271 · 4649 · 9091 · 123551 · 909091 · 4147571 · 102598800232111471 · 265212793249617641
R₇₁ = 241573142393627673576957439049 · 45994811347886846310221728895223034301839
R₇₂ = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 73 · 101 · 137 · 3169 · 9901 · 52579 · 98641 · 333667 · 99990001 · 999999000001 · 3199044596370769
R₇₃ = 12171337159 · 1855193842151350117 · 49207341634646326934001739482502131487446637
R₇₄ = 11 · 7253 · 2028119 · 247629013 · 422650073734453 · 296557347313446299 · 2212394296770203368013
R₇₅ = 3 · 31 · 37 · 41 · 151 · 271 · 4201 · 21401 · 25601 · 2906161 · 182521213001 · 15763985553739191709164170940063151
R₇₆ = 11 · 101 · 722817036322379041 · 909090909090909091 · 1111111111111111111 · 1369778187490592461
R₇₇ = 239 · 4649 · 5237 · 21649 · 42043 · 513239 · 29920507 · 136614668576002329371496447555915740910181043
R₇₈ = 3 · 7 · 11 · 13^2 · 37 · 53 · 79 · 157 · 859 · 6397 · 216451 · 265371653 · 1058313049 · 388847808493 · 900900900900990990990991
R₇₉ = 317 · 6163 · 10271 · 307627 · 49172195536083790769 · 3660574762725521461527140564875080461079917
R₈₀ = 11 · 17 · 41 · 73 · 101 · 137 · 271 · 3541 · 9091 · 27961 · 1676321 · 5070721 · 5882353 · 5964848081 · 19721061166646717498359681
R₈₁ = 3^4 · 37 · 163 · 757 · 9397 · 333667 · 2462401 · 440334654777631 · 676421558270641 · 130654897808007778425046117
R₈₂ = 11 · 83 · 1231 · 538987 · 2670502781396266997 · 3404193829806058997303 · 201763709900322803748657942361
R₈₃ = 3367147378267 · 9512538508624154373682136329 · 346895716385857804544741137394505425384477
R₈₄ = 3 · 7^2 · 11 · 13 · 29 · 37 · 43 · 101 · 127 · 239 · 281 · 1933 · 2689 · 4649 · 9901 · 226549 · 459691 · 909091 · 10838689 · 121499449 · 4458192223320340849
R₈₅ = 41 · 271 · 2071723 · 262533041 · 5363222357 · 8119594779271 · 4222100119405530170179331190291488789678081
R₈₆ = 11 · 173 · 1527791 · 57009401 · 2182600451 · 1963506722254397 · 2140992015395526641 · 7306116556571817748755241
R₈₇ = 3 · 37 · 3191 · 4003 · 16763 · 43037 · 62003 · 72559 · 77843839397 · 310170251658029759045157793237339498342763245483
R₈₈ = 11^2 · 23 · 73 · 89 · 101 · 137 · 617 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239 · 1052788969 · 1056689261 · 16205834846012967584927082656402106953
R₈₉ = 497867 · 103733951 · 104984505733 · 5078554966026315671444089 · 403513310222809053284932818475878953159
R₉₀ = 3^2 · 7 · 11 · 13 · 19 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 29611 · 52579 · 238681 · 333667 · 2906161 · 3762091 · 8985695684401 · 4185502830133110721

4. 제곱

R₁부터 R₉까지의 레퓨닛 수의 제곱은 1부터 1씩 차례대로 커지다 작아지는 형태의 대칭수이다.

1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
11111111² = 123456787654321
111111111² = 12345678987654321

어디서 본 사람이 있을 거라 생각할 수 있는데, 수학 귀신의 첫날 밤에 수학 귀신이 소개한 식이다.

[1] 참고로 이진법에서 1이 늘어선 수는 메르센 수라고 한다. [2] 여기서 단위 반복 소수란 2진법에서의 메르센 소수와 10진법에서의 레퓨닛 소수를 임의의 진법으로까지 확장해서 생기는 n진법에서 1이 늘어선 수를 말한다. 가령 십진법에서 1이 2개, 19개, 23개, 317개, 1031개, 49081개, 86453개, 109297개, 270343개 늘어선 수는 소수인데, 모든 자리수가 1인 레퓨닛 소수이므로 단위 반복 소수의 일종이다. [3] 다만 n이 2 이상의 자연수라고 할 때, m이 n제곱수이면 m진법에서 1이 늘어선 형태를 하고 있는 소수의 경우는 m의 n제곱근에 해당하는 수의 진법에서 1이 늘어선 형태를 한 수를 반드시 약수로 갖기 때문에 아예 없거나 딱 하나로, 유일하다가 된다. 따라서 m의 소인수분해에서 각 소인수가 2 이상인 것 중에 지수가 가장 작은 것이 다른 소인수가 곱해진 그 어떤 지수의 약수가 되지 않아야 m진법에서 1이 늘어선 형태를 하고 있는 소수 ( 단위 반복 소수)의 개수가 최소한 4개 이상이 된다. 또한 p가 n-1의 소인수이면 n진법에서 1이 p개만큼 늘어선 수는 무조건 n-1의 소인수인 p의 배수가 되기 때문에 소수가 될 수 없으므로 n진법 표현에서 1이 p개만큼 늘 어선 수가 소수라면 p는 소수이며, n을 p로 나눈 나머지가 1이 아닌 경우이어야 한다. 물론 그 역은 성립하지 않으니 1이 n-1의 소인수가 아닌 소수 p개만큼 늘어서있는 수라고 해도 항상 소수가 되지는 않는단 얘기다. [4] 일단 주어진 진법에서 현재까지 발견된 단위 반복 소수들과 그 개수만 생각하며, [8] p가 소수일 때, n진법에서 p개만큼 늘어선 수가 소수가 되는 경우에 해당하는 자연수 n이나 n진법에서 1이 k개 만큼 늘어선 수가 소수임을 만족하게 하는 소수 k의 값에 해당하는 수의 목록도 만들어볼 수 있겠다. 특히 2진법이나 10진법이 아닌 다른 진법에서 훨씬 유용하다. 그 외에도 재배열 가능 소수, 왼편/오른편/양편 절단 가능 소수 및 양면 소수 및 이들의 개수와 가장 큰 것의 자릿수 개수도 10진법 이외의 다른 기수법에서도 생각할 수 있겠다. [5] 가령 111111111(1이 9개)은 111로 나누어떨어진다. [6] 최초의 이중 레퓨닛 수이고, 11이 소수이지만, R₁₁는 소수가 아니며, 그다음으로 1이 늘어선 레퓨닛 소수인 1이 1111111111111111111(약 111경), 11111111111111111111111(약 111해)개 만큼 늘어선 R_{1111111111111111111}과 R_{11111111111111111111111} 는 거의 쓰기가 불가능할 정도로 자릿수가 무수히 많으므로 사실상 안된다고 봐야 한다. [7] 이 수는 레퓨닛 수 중 최소의 과잉수이기도 하다. 진약수의 합은 121,854,250,714,885,689이다.

[8] 2진법은 메르센 소수로, 51개가 있다.