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1. 개요
조합과 관련된 내용이다. 분할에는 자연수의 분할과 집합의 분할이 있다. 한마디로 자연수와 집합을 조합을 이용해 나누는 방법.2. 종류
2.1. 자연수의 분할
자연수 [math(n)]을 [math(r)]개의 자연수의 합으로 나타내는 가짓수를 [math(p\left(n,\ r\right))]로 표기한다. 단, [math(1 \le r \le n)]이다. [1] 이때 순서는 생각하지 않는다. 예를 들어 [math(5)]를 [math(3)]개의 자연수로 나누면 [math(5=3+1+1=2+2+1)] 이므로 [math(p\left(5,\ 3\right)=2)] 이다.모든 경우를 다 합친 것은 [math(\displaystyle \sum_{k=1}^n p\left(n,\ k \right) = p_n)]으로 표기하는데, 이를 분할수라고 부른다.
2.1.1. 성질
[math(p\left(n,\ 2 \right) = \biggl\lfloor \dfrac n2 \biggr\rfloor)], [math(p\left(n,\ 3 \right) = {\rm round}\left( \dfrac{n^2}{12} \right))]단, 여기서 [math(\lfloor x \rfloor)]는 [math(x)]를 넘지 않는 최대정수이고 [math({\rm round}(x))]는 [math(x)]를 반올림[2]한 것이다.
2.1.2. 분할수
자연수 [math(n)]을 분할하는 방법의 수를 분할수라고 한다. 따라서 분할수는 [math(p\left(n,\ k\right))]들의 합으로 나타내어진다.2.1.3. 켤레 분할
[math((3,\ 2,\ 2))], [math((3,\ 3,\ 1))]과 같이 서로가 서로의 '[math(k)] 이상의 자연수 개수'를 나타내는 두 분할의 관계를 켤레 분할(conjugate partition) 또는 공액 분할이라고 한다. 즉 [math((3,\ 2,\ 2))]에서는 [math(1)] 이상인 자연수의 개수가 [math(3)]개, [math(2)] 이상인 자연수의 개수가 [math(3)]개, [math(3)] 이상인 자연수의 개수가 [math(1)]개이므로 [math((3,\ 2,\ 2))]의 켤레 분할이 [math((3,\ 3,\ 1))]이 되고, 같은 방법으로 따지면 그 반대 관계도 성립한다. 이는 분할의 개수대로 가로로 블록을 쌓고 세로로 블록 수를 세어서 새로운 분할을 얻는 것과 같으므로, 켤레 분할은 일대일 대응이다.2.2. 집합의 분할
제2종 스털링 수 (Stirling numbers of the second kind)원소가 [math(n)]개인 집합을 [math(r)]개의 공집합이 아니면서 서로소인 부분집합들의 합집합으로 나타내는 가짓수를 [math(S\left(n,\ r\right))]로 표기한다.[3] 예를 들어 [math(\left\{1,\ 2,\ 3\right\})]을 [math(2)]개의 부분집합들로 나누면 [math(\left\{1,\ 2\right\}\cup\left\{3\right\}=\left\{1,\ 3\right\}\cup\left\{2\right\}=\left\{2,\ 3\right\}\cup\left\{1\right\})]이므로 [math(S\left(3,\ 2\right)=3)] 이다.
2.2.1. 성질
- [math(S \left( n,\ k \right) = S \left( n-1,\ k-1 \right) + k \times S \left( n-1,\ k \right) )]
- [math(S \left( n,\ 2 \right) = 2^{n-1} -1 )]
- [math(S \left( n,\ 3 \right) = \frac{1}{3!} \times (3^n -3 \times 2^n +3) )]
- [math(S \left( n,\ n-1 \right) = \displaystyle \binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2} )] [4]
2.2.2. 벨 수
원소의 개수가 [math(n)]인 집합을 분할하는 방법의 수를 벨 수라고 한다. 따라서 벨 수는 [math(S\left(n,\ k\right))]들의 합으로 나타내어진다.3. 여담
- 대한민국의 고등학교 수학 교과목에는 제7차 교육과정에서 이산수학에 있었다가 2007 개정 교육과정에서 아예 삭제되었고, 2009 개정 교육과정에서 확률과 통계 과목에서 다시 등장하였다가 2015 개정 교육과정(문·이과 통폐합 교육과정)에서부터 재삭제된다.
4. 관련 문서
[1]
대문자로 나타내기도 한다. [math(P\left(n,\ r\right))]
[2]
언뜻 반올림한 값이 참이라는 데에 의문이 들 수 있다.
[3]
집합론으로 정의하면 [math(1 \le r \le n)]이지만 대수적으로도 엄밀하게 정의할 수 있기 때문에 [math(r)], [math(n)]은 정수이기만 하면 된다. 물론 [math(n<r)]이면 [math(S \left( n,\ r \right) = 0)]이다.
[4]
[math( \displaystyle \binom{n}{2})]는
조합 기호로, 고교 과정에서는 [math({}_n\mathrm C_2)]라 쓴다.