| 2022 개정 교육과정 수학과 고등학교 과목 ('25~ 高1) | |||||||
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1. 개요
2022 개정 교육과정의 고등학교 수학과 (과학 계열) 진로 선택 과목 <고급 대수>에 대한 문서이다.1.1. 성격
‘고급 대수’는 대수의 심화된 내용과 추론 방식을 이해하고 탐구하는 과목이다. ‘고급 대수’는 수학의 여러 분야에서 대수적 개념과 방법을 어떻게 사용하는지, 인공지능, 기계공학, 전자공학 등 다양한 영역에서 행렬 및 벡터가 어떻게 사용되는지 이해하는 데 도움이 되며, 빅데이터와 인공지능 시대에 필요한 산업과 지속가능한 기술 발전의 토대가 된다.‘고급 대수’를 학습한 학생들은 공간벡터를 [math(n)]차원 벡터로 일반화하고 벡터공간의 성질을 탐구하는 과정에서 수학적으로 추론하는 능력을 기를 수 있고, 선형변환을 행렬로 표현하거나 이차곡선의 방정식을 변형하는 등 수학적 표현을 생성, 변환함으로써 수학적으로 의사소통할 수 있으며, 벡터와 행렬을 다른 수학 영역 및 타 교과에 활용하는 경험을 통해 수학의 유용성을 인식할 수 있다. ‘고급 대수’는 자신의 진로와 적성을 고려하여 더욱 심화된 수학을 학습하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있다. ‘고급 대수’는 자연과학, 공학, 의학뿐만 아니라 경제⋅경영학을 포함한 사회과학, 인문학, 예술 및 체육 분야를 학습하는 데 기초가 되며, 나아가 학생이 적성을 발견하고 진로를 설계하는 기반을 제공한다.
학생들은 ‘고급 대수’의 학습을 통해 수학 지식을 이해하고 수학적 사고 과정에 요구되는 기능을 형성하며 수학의 가치를 인식하고 바람직한 수학적 태도를 갖추어 수학 교과 역량을 함양할 수 있다. 또한 ‘고급 대수’를 학습하는 과정에서 협력하여 문제를 해결하고 성찰하는 경험을 통해 다른 사람에 대한 포용성을 갖춘 민주 시민이자 인간과 환경의 공존 및 지속가능한 발전을 추구하며 사회적 책임감을 가지고 합리적으로 의사 결정하는 세계 공동체의 일원으로 성장할 수 있다.
- 기존의 고급 수학 1보다 크게 발전하여 벡터공간, 기저에 대한 서술이 상당히 자세하게 추가되어 좋은 선형대수학 입문서가 되었다. 다만, 이들 개념이 상당히 추상적인 만큼 처음 배우는 난이도는 높을 수 있다.
1.2. 목표
‘고급 대수’의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 수학의 가치를 인식하며 바람직한 수학적 태도를 길러 수학적으로 추론하고 의사소통하며 다양한 현상과 연결하여 정보를 처리하고 문제를 창의적으로 해결하는 수학 교과 역량을 함양한다.(1) 대수 지식을 이해하고 활용하여 적극적이고 자신감 있게 여러 가지 문제를 해결한다.
(2) 대수에 흥미와 관심을 갖고 추측과 정당화를 통해 추론한다.
(3) 대수에서 활용되는 수학적 사고와 전략에 대해 의사소통하고 수학적 표현의 편리함을 인식한다.
(4) 대수와 관련된 수학의 개념, 원리, 법칙 간의 관련성을 탐구하고 실생활이나 타 교과에 수학을 적용하여 수학의 유용성을 인식한다.
(5) 목적에 맞게 교구나 공학 도구를 활용하며 자료를 수집하고 처리하여 정보에 근거한 합리적 의사 결정을 한다.
2. 내용 체계 및 성취기준
- 핵심 아이디어
- [math(n)]차원 벡터공간은 [math(n)]개의 기저벡터를 통하여 설명되며, 벡터는 다양한 기하적 현상을 대수적으로 다루는 도구이다.
- 벡터공간의 선형성을 보존하는 선형변환은 행렬로 표시되며, 다양한 영역에서 나타나는 선형성을 이해하고 분석하는 데 활용된다.
- 행렬의 대각화는 행렬이 가지는 대수적 성질을 파악하는 데 유용하며 선형변환을 쉽게 표현하는 데 이용된다.
- 지식⋅이해
- 벡터공간
- 벡터공간
- 벡터의 내적과 정사영
- 행렬과 선형변환
- 행렬과 연립일차방정식
- 행렬과 선형변환
- 행렬의 대각화
- 행렬의 대각화
- 대각화의 활용
- 과정⋅기능
- 수학의 개념, 성질, 공식, 규칙에 근거하여 값 또는 식을 구하기
- 벡터공간과 행렬의 개념, 원리, 법칙, 관계, 성질을 탐구하기
- 벡터의 일차독립과 일차종속을 판단하기
- 벡터공간과 행렬의 개념, 원리, 법칙, 관계를 활용하기
- 개연적 추론을 통해 수학적 추측을 제기하고 일반화하기
- 행렬을 수학의 다른 영역의 내용과 연결하기
- 행렬을 활용하여 문제를 해결하기
- 선형변환과 행렬 사이의 관계를 설명하기
- 선형변환을 행렬로 표현하기
- 적절한 공학 도구를 이용하여 선형변환과 행렬을 탐구하기
- 가치⋅태도
- 벡터의 차원을 확장하여 일반화하는 것에 대한 흥미
- 선형변환을 표현하는 도구로서 행렬의 편리함 인식
- 행렬을 이용하여 정보처리의 효율성을 추구하는 태도
2.1. 벡터공간
| (1) 벡터공간 | ||
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[12고대01-01][math(n)]차원 벡터의 뜻을 알고, [math(n)]차원 벡터의 연산을 할 수 있다. [12고대01-02]벡터공간의 뜻을 알고, 벡터의 성질을 탐구할 수 있다. [12고대01-03]부분공간의 뜻을 알고, 그 성질을 탐구할 수 있다. [12고대01-04]벡터의 일차독립과 일차종속을 이해하고, 이를 판단할 수 있다. [12고대01-05]벡터공간의 기저를 이해하고, 이를 구할 수 있다. [12고대01-06]두 [math(n)]차원 벡터의 내적을 이해하고, 이를 활용할 수 있다. [12고대01-07]벡터의 정사영을 이해하고, 이를 구할 수 있다. [12고대01-08]벡터공간의 정규직교기저를 이해하고, 이를 구할 수 있다. |
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| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 | • [12고대01-08] 그람-슈미트 직교화 과정을 이용하여 벡터공간의 정규직교기저를 구할 수 있게 한다. | }}} |
| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 |
• ‘벡터공간’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘[math(n)]차원 벡터, 벡터공간, 부분공간, 일차독립, 일차종속, 기저, 정규직교기저, [math(\rm R^{\it n})]’을 다룬다. • 평면벡터와 공간벡터의 개념과 성질을 벡터공간으로 확장함으로써 수학 개념의 일반화에 흥미를 갖게 한다. |
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2.2. 행렬과 선형변환
| (2) 행렬과 선형변환 | ||
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[12고대02-01]가우스 소거법을 이해하고, 행렬과 연립일차방정식을 연결하여 문제를 해결할 수 있다. [12고대02-02]역행렬을 이해하고, 가우스 소거법을 이용하여 이를 구할 수 있다. [12고대02-03]행렬식의 뜻과 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다. [12고대02-04]선형변환을 이해하고, 이를 행렬과 연결하여 문제를 해결할 수 있다. [12고대02-05]좌표평면에서의 대칭변환, 닮음변환, 회전변환과 행렬 사이의 관계를 설명할 수 있다. [12고대02-06]선형변환의 합성과 역변환을 이해하고, 행렬을 이용하여 이를 표현할 수 있다. |
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| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 |
• [12고대02-02] [math(2 \times 2)], [math(3 \times 3)] 행렬의 역행렬만 다룬다. • [12고대02-03] [math(2 \times 2)], [math(3 \times 3)] 행렬의 행렬식만 다룬다. • [12고대02-05] 대칭변환, 닮음변환, 회전변환은 [math(R^2 \rightarrow R^2)] 인 경우만 다룬다. |
}}} |
| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 |
• ‘행렬과 선형변환’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘영행렬, 단위행렬, 역행렬, 기본행연산, 가우스 소거법, 행렬식, 선형변환, 대칭변환, 닮음변환, 회전변환, 역변환, [math(O)], [math(A^{-1})], [math(f:(x, y) \rightarrow (x', y') )], [math(f':(x, y, z) \rightarrow (x', y', z') )]’을 다룬다. • 선형변환과 행렬 사이의 관계를 다룰 때 공학 도구를 이용할 수 있다. • 행렬이 연립일차방정식과 선형변환을 이해하는 도구가 됨을 알게 하여 수학의 연결성과 행렬의 편리함을 인식하게 한다. |
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2.3. 행렬의 대각화
| (3) 행렬의 대각화 | ||
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[12고대03-01]행렬의 고윳값과 고유벡터를 이해하고, 특성다항식을 이용하여 이를 구할 수 있다. [12고대03-02]케일리-해밀턴 정리를 이해하고, 이를 이용하여 행렬의 거듭제곱을 구할 수 있다. [12고대03-03]행렬을 대각화하는 방법을 이해하고, 행렬을 대각화할 수 있다. [12고대03-04]직교행렬과 직교대각화의 뜻을 알고, 행렬을 직교대각화할 수 있다. [12고대03-05]행렬의 대각화를 이용하여 이차곡선의 방정식을 표준형으로 변환할 수 있다. [12고대03-06]행렬의 대각화를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다. |
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| {{{#!folding ■ 성취기준 해설 |
• [12고대03-01] [math(2 \times 2)], [math(3 \times 3)] 행렬의 고윳값과 고유벡터를 다룬다. • [12고대03-03] [math(2 \times 2)], [math(3 \times 3)] 행렬의 대각화만 다룬다. 행렬의 대각화를 이용하여 행렬의 거듭제곱을 구하고, 이 행렬의 고윳값을 구하게 할 수 있다. • [12고대03-06] 피보나치 수열, 간단한 마르코프 체인 문제 등을 다룰 수 있다. |
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| {{{#!folding ■ 성취기준 적용 시 고려사항 |
• ‘행렬의 대각화’ 영역에서는 용어와 기호로 ‘고윳값, 고유벡터, 특성다항식, 케일리-해밀턴 정리, 대각화, 대각행렬, 전치행렬, 직교행렬, 직교대각화, [math(A^T)]’를 다룬다. • 행렬을 이용해 정보를 단순화하여 효율적으로 처리하는 경험을 제공함으로써 행렬의 유용성을 인식하게 한다. |
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