1. 개요
평면상의 정사각형 영역을 모두 채우는 곡선으로, 1890년 페아노가 고안해 낸 것이다. '페아노 곡선'은 '공간을 채우는 곡선(space filling curve)'을 총칭하기도 하지만, 구체적으로는 그러한 곡선들 중 최초로 제시된 페아노의 곡선을 가리킨다.2. 그림
2.1. 1단계
2.2. 2단계
2.3. 3단계
3. 의미
곡선이란 구간에서 위상 공간으로 가는 연속함수를 말한다. 실수의 구간에서 정사각형 영역으로 가는 전사함수가 존재한다는 것은 초등적인 집합론 수준에서 쉽게 해결할 수 있다. 그런데, 연속인 전사함수가 있느냐, 즉, 선으로 정사각형을 완전히 채울수 있느냐는 또 다른 문제가 된다. 쉽게 얘기하면, 길이의 제한이 없을 때, 두께가 0인 실을 적당히 구부려서 정사각형 영역을 완전히 채울수 있느냐를 떠올려 보면 된다.[1] 페아노가 제시한 각 단계를 계속해서 밟아 나갈때 나오는 곡선들의 극한은, 곡선이면서도 정사각형의 영역을 완전히 채우게 된다.
[1]
이 때, 실이 겹쳐지는 것도 허용된다. 구간에서 정사각형 영역으로 가는 연속인 전사함수는 존재하지만, 아쉽게도 연속인 전단사함수는 존재하지 않는다.