근과 계수의 관계를 활용하는 문제는 고등학교 1학년 과정[1]에서 처음으로 다루며,
곱셈 공식을 활용하도록 하는 문제가 대표적이다. 이런 문제는 방정식의 근이 정수가 되지 않도록 출제하는 것이 중요하다. 방정식이 근이 정수가 되면 아래와 같은 문제를 근과 계수의 관계로 푸는 것이 아니라 단순히 방정식을 직접 풀어서 쉽게 풀어버릴 수 있기 때문이다. 따라서 출제자 입장에선 근이 무리수나 허수[2]가 되도록 출제하여 방정식을 직접 풀면 계산이 매우 복잡해지도록 하는 것이 포인트이다.[3]
[문제]
이차방정식 [math(2x^2+3x-8=0)]의 두 근을 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)]라 하자. [math(\alpha^2+\beta^2)], [math(\alpha^3+\beta^3)], [math(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta})]의 값을 각각 구하시오.
[풀이 보기]
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이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [math( \displaystyle\alpha+\beta=-{3}/{2},\;\alpha\beta=-4)]이므로
곱셈 공식에 의하여
곱셈 공식이 아니면서 근과 계수의 관계로 값을 구하는 식으로는 [math(1/\alpha+1/\beta)]이라는 재미있는 형태가 있다. [math(1/\alpha)]과 [math(1/\beta)]의 값을 각각 구하기는 매우 번거롭지만
통분을 하면 절묘하게 분모는 두 근의 곱이 되고 분자는 두 근의 합이 되어 값을 간단히 구할 수 있기 때문이다.
[문제]
삼차방정식 [math(2x^3-x^2-4x+5=0)]의 세 근을 각각 [math(\alpha)], [math(\beta)], [math(\gamma)]라 하자. [math(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)], [math(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)]의 값을 각각 구하시오.
[풀이 보기]
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삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [math( \displaystyle\alpha+\beta+\gamma={1}/{2},\;\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-2,\;\alpha\beta\gamma=\displaystyle-{5}/{2})]이므로
곱셈공식에 의하여
[문제]
사차방정식 [math(x^4-2x^3-12x^2-22x+35=0)]의 두 실근을 [math(a, b)], 두 허근을 [math(c, d)]라고 할 때, [math(cd(a+b))]의 값을 구하시오.
[풀이 보기]
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우선 사차방정식의 두 실근을 구해 준다.
상수항을 뒤로 이항하면 [math(x^4-2x^3-12x^2-22x=-35)]가 되며, 1과 5를 대입하면 성립한다. 따라서 [math(a=1, b=5)]이다.
이제 (이차식)×(이차식) 꼴로 인수분해하여 주면,
[math((x^2-6x+5)(x^2+4x+7))]이 된다.
이차방정식 [math(x^2+4x+7=0)]의 두 근은 모두 허근이고 (처음에 두 실근과 두 허근이라고 언급하였으므로) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 곱은 [math(7)]이 된다. 따라서 [math(cd=7)]이므로 구하고자 하는 값은 [math(42)]이다.
[1]
2015 개정 교육과정 기준
[2]
단, 허근은 2개 밖에 못 넣고 그마저도 켤레복소수이기 때문에
미분을 미리 배워뒀다면 실근의 추정치를 구할 수 있게 되어 상당히 쉬워진다.
[3]
단, 사차방정식의 경우는 예외이다. 인수분해가 되기는 하는데 실수체 위에서 기약인 이차식 둘이 곱해진 사차식(즉, 유리수 범위에서 일차식으로 인수분해할 수 없는 사차식)도 있어 결국 사차방정식의 근의 공식 유도를 이용해야 하는, 굉장히 복잡한 문제가 될 수 있기 때문. 고등학교 과정에서 사실상 이쪽은 이차방정식의 근과 계수 문제나 마찬가지이고, 한 이차식은 근이 정수, 다른 이차식은 무리수 혹은 허수인 방정식이 출제되는 경향이 있다.