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절대부등식 Inequalities |
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코시-슈바르츠 부등식 | 산술·기하 평균 부등식 |
| [math(\left({a_n})({b_n}\right)\ge\left({a_n}{b_n}\right))] | [math(\frac{a_n+b_n}{n}\ge\sqrt[n]{{a_n}{b_n}})] | |
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| [math(\lambda_n f\left(x_n\right)\ge f\left({\lambda_n}{x_n}\right))] | [math(ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})] | |
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| [math(\|fg\|_1\le\|f\|_p\|g\|_q)] | [math(\|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p)] | |
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| [math(\frac{E(X)}k\ge{\rm P}(X\ge k))] | [math(P(|X-\mu|<k\sigma)\geq1-\frac1{k^2})] | |
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| [math(a\left(x-y\right)\left(x-z\right)+b\left(y-z\right)\left(y-x\right)+c\left(z-x\right)\left(z-y\right)\geq0)] | ||
| 합 기호는 아인슈타인 합 규약을 일부 사용해 단축하였다. | }}}}}}}}} | |
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Markov inequality, Markov 不 等 式
1. 개요
확률론의 절대부등식의 하나이다. 이름의 유래는 러시아의 수학자 안드레이 마르코프(Markov, 1856~1922)이다.|
음이 아닌 확률변수 [math(X)]와 양수 [math(c)]에 대하여 [math(\dfrac{\mathbb{E}[X]}{c} \geq \mathbb{P}(X \ge c))]
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다음과 같이 증명한다.
[math(
\mathbb{E}[X] \ge \mathbb{E}[X \mathbb{1}_{\{X \ge c\}}] \ge c \cdot \mathbb{P}(X \ge c)
)]이 부등식은 체비쇼프 부등식을 증명하는 데에도 도움이 된다.