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최근 수정 시각 : 2021-12-30 19:24:32

하인츠 정리


1. 개요2. 증명

1. 개요

Heinz's Theorem

2의 [math(n)]제곱근이 2 이상의 자연수에 대하여 항상 무리수임을 설명하는 정리이다. 19세기 후반에 독일의 수학자 라이너 하인츠가 처음으로 증명했으며, 당시 수학계에 큰 파장을 일으켰다.

이 정리를 증명하는 방법에는 처음 대두되었을 때에 러이너 하인츠에 의하여 사용된 수학적 귀납법을 활용하는 방식과 페르마의 마지막 정리(FLT)를 오오 FLT 오오 세상에서 가장 어려운 증명법 활용하는 방식이 있는데, 이 문서에서는 후자를 활용하여 증명한다.
정수 [math(n)][math((n \geq 2))]에 대하여 [math(\sqrt[n]2)]는 항상 무리수이다.

2. 증명

[math(n=2)]인 경우는 유클리드가 증명한 방법으로 쉽게 보일 수 있다.
FLT에 의해 증명은 여백이 부족해서 적지 않겠다 정수 정수 [math(n)][math((n \geq 3))]에 대하여

[math(p^n=q^n+q^n=2q^n)]

을 만족하는 자연수 [math(p, q)]가 존재하지 않는다. 양변을 [math(q^n)]으로 나누면

[math(\dfrac {p^n}{q^n}=2)]

양변에 [math(n)]제곱근을 씌우면

[math(\dfrac pq=\sqrt[n]2)]

이다. FLT에 의해 이러한 자연수 [math(p, q)]가 존재하지 않는다고 했으므로 [math(\sqrt[n]2)]는 항상 무리수이다.

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