1. 개요
雙 對 積/coproduct쌍대곱은 범주론에서 주어진 두 개 이상의 대상을 보편적으로 결합하는 구조를 나타낸다. 쌍대곱은 곱의 대칭적 개념으로, 주어진 대상을 포함하면서도 특정 보편 성질을 만족하는 최소의 대상이다. 쌍대곱은 쌍대극한의 특별한 경우로 간주되며, 범주론에서 중요한 역할을 한다.
2. 정의
2.1. 쌍대곱의 수학적 정의
범주 [math(C)]에서, 두 대상 [math(A)]와 [math(B)]의 쌍대곱 [math(A \amalg B)]는 다음 데이터를 포함한다:- 대상 [math(A \amalg B)]
- 사상 [math(\iota_A : A \to A \amalg B)]와 [math(\iota_B : B \to A \amalg B)]
이 데이터는 다음 보편 성질을 만족해야 한다:
임의의 대상 [math(X)]와 사상 [math(f : A \to X)], [math(g : B \to X)]가 주어졌을 때, 유일한 사상 [math(h : A \amalg B \to X)]이 존재하여 다음을 만족한다:
[math(h \circ \iota_A = f \quad \text{및} \quad h \circ \iota_B = g)]
[math(h \circ \iota_A = f \quad \text{및} \quad h \circ \iota_B = g)]
2.2. 기호적 표현
쌍대곱은 일반적으로 [math(A \amalg B)] 또는 [math(A + B)]로 표기된다. 각 사상 [math(\iota_A)]와 [math(\iota_B)]는 삽입 사상 (inclusion morphism)이라고 불린다.3. 성질
3.1. 보편 성질
쌍대곱은 보편 성질을 만족하여, 주어진 두 대상을 결합하는 가장 일반적인 구조를 제공한다. 이는 다음과 같이 요약된다:[math(h : A \amalg B \to X)]는 [math(f)]와 [math(g)]의 모든 조합을 유일하게 설명한다.
3.2. 대칭성과 쌍대성
쌍대곱은 곱의 대칭적 개념으로, 범주론에서 대칭성과 이중성을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.3.3. 쌍대극한과의 관계
쌍대곱은 쌍대극한의 특별한 경우로 간주되며, 작은 다이어그램의 쌍대극한으로 나타날 수 있다.4. 예시
4.1. 집합의 범주 [math(Set)]
집합 [math(A)]와 [math(B)]의 쌍대곱은 이들의 분리된 합집합 (disjoint union)으로 정의된다:[math(A \amalg B = \{(a, 1) \mid a \in A\} \cup \{(b, 2) \mid b \in B\})]
4.2. 위상 공간의 범주 [math(Top)]
위상 공간 [math(X)]와 [math(Y)]의 쌍대곱은 분리된 합집합 위에 자연스러운 위상을 부여한 구조이다. 이는 두 공간을 서로 독립적으로 포함하면서도 최소한의 위상 구조를 제공한다.4.3. 군의 범주 [math(Grp)]
군 [math(G)]와 [math(H)]의 쌍대곱은 자유곱 (free product)으로 정의된다. 이는 다음과 같이 표현된다:[math(G * H = \langle G, H \mid \text{no relations between } G \text{ and } H \rangle)]
5. 응용
5.1. 데이터 결합
쌍대곱은 범주론적 데이터 모델링에서 데이터를 결합하거나 확장하는 데 사용된다. 예를 들어, 데이터베이스에서 여러 개의 데이터 테이블을 통합하는 과정에서 쌍대곱이 활용될 수 있다.5.2. 대수학
대수학에서 쌍대곱은 자유곱과 같은 구조를 정의하거나, 대수적 구조 간의 관계를 분석하는 데 활용된다.5.3. 위상수학
위상수학에서는 쌍대곱이 새로운 위상 공간을 구성하거나 기존 공간을 결합하는 데 사용된다. 예를 들어, 위상 공간의 분리된 합집합은 쌍대곱의 한 예이다.6. 쌍대곱과 곱의 차이점
6.1. 정의적 차이
- 쌍대곱은 "대상을 결합"하는 구조이다:
- 곱은 "대상을 제한"하는 구조이다:
[math(A \amalg B)]
[math(A \times B)]
6.2. 보편 성질 비교
- 쌍대곱: 대상 [math(A \amalg B)]에서 다른 대상으로의 사상을 정의한다.
- 곱: 다른 대상에서 [math(A \times B)]로의 사상을 정의한다.
[math(h \circ \iota_A = f \quad \text{및} \quad h \circ \iota_B = g)]
[math(f = \pi_1 \circ h \quad \text{및} \quad g = \pi_2 \circ h)]
6.3. 예시 비교
- 집합의 범주:
- 위상 공간의 범주:
- 쌍대곱: 분리된 합집합.
- 곱: 데카르트 곱.
- 쌍대곱: 분리된 합집합의 위상.
- 곱: 곱위상.