Moser's number
1. 개요
큰 수 중 하나. 수학자 리오 모우저의 이름을 따서 지어졌다. 크기로는 구골플렉스 따위와는 비교도 안된다. 너무 커서 일반적인 지수 표현 방식으로는 나타낼 수 없다.2. 정의
그레이엄 수와 만드는 방법이 비슷하다.-
n(|)이 nn 을 나타낸다고 정의하자.
선을 더 추가하면, 예를 들어 2(|||)의 경우 22(||)[1]와 같다. - n(<)를 n(|||...|||)로 정의하자.(|가 n개 나열된다.)
-
n(
△)은 n(<<<...<<<)와 같고 n(
□)은 n(△△△...△△△)와 같은식으로
오각형,
육각형, 그 이상도 정의할 수 있다. 이를
스테인하우스-모저 기수법이라고 한다.[2]
예를 들어, 2(△)의 경우 2(<<)와 같고 이는 2(||<) = 4(|<) = 256(<) = 256(|||...|||) (|이 256개)로 정의되는데, 이는 256을 지수의 탑으로 256번 쌓은 숫자다. 줄여서 표현하자면 256↑↑256으로 나타낼 수 있으며, 이를 10의 거듭제곱으로 표현하자면 10↑↑257정도로 나오며, 이미 구골플렉스 따위는 비교도 안 될 만큼 큰 수다.[3] 이 수를 편의상 A라고 하자. - 이때 모우저는 2(2A각형)으로 정의된 수다.
어떻게 계산하는지도 헷갈리는 수지만 수학자들은 모우저의 마지막 자릿수는 알고 있다.[4] 바로 6. 모우저가 아무리 큰 수여도 결국 256의 제곱 꼴로 떨어지기 때문에 맨 끝자리는 6의 곱셈으로 결정되는데, 6×6=36이니까 맨 뒷자리는 6일 수밖에 없다. 비슷한 규칙으로 마지막 네 자리 수는 1056으로 계산된다. 2 대신에 3을 대입할 경우, 마지막 3자리 수는 387로 끝난다. 자세한 이유는 그레이엄 수 참고.
3. 근사
n(|)=nn이므로 n(|)는 fgh의 [math(f_2(n)=n×2^n)]과 비슷하다. n(||)=(n(|))(|)이고, 일반적으로 n(|||...||)(|이 n개)는 (n(|||..||))(|||..||)(|이 n-1)개 이다.즉, [math(n(||)\approx f_2^2(n),\ n(|||)\approx f_2^4(n),\ n(||||) \approx f_2^6(n)...)]이다. 따라서 [math(n(<)\approx f_3(n))]이다. 같은 규칙으로 [math(n(\triangle)\approx f_4(n),\ n(\square)\approx f_5(n)...)]이기 때문에 n(n각형)은 [math(f_\omega(n))]과 비슷하고 모우저는 [math(f_{f_4(2)}(f_4(2))=f_\omega(f_4(2)))]로 근사할 수 있다.
그렇기 때문에 그레이엄 수([math(g_{64})] = [math(f(f(f(...(f(4))...))))](f가 64개), [math(f(n)=3\uparrow^n 3))])보다는 크지 않다. [math(g_{64}\approx f_{\omega+1}(64))]일 뿐더러 n((k+2)각형)은 [math(n\uparrow^{2n} 2)]보다 작기 때문. 윗화살표 표기법에 대해서는 커누스 윗화살표 표기법 문서 참조.
위에서 알 수 있듯이 당장 모우저 수는 [math(g_2)] = [math(f(f(4)))] 보다도 작다. 그래도 모우저를 재귀하면 그레이엄 함수랑 성장률이 같아, 63번 이상 재귀할 경우, 그레이엄수보다 더 큰 값이 나온다.
그래도 모우저에 들어가는 화살표 수는 구골플렉스, 구골플렉시안 보다도 훨씬 더 많은 [math(10\uparrow \uparrow 257)]개이기 때문에, 모우저 숫자를 화살표로 나타내려면 [math(10\uparrow^{10\uparrow \uparrow 257}10)]과 같이 윗첨자로 나타내야 그나마 근사한 값이 나온다.
4. 참고 항목
5. 외부 링크
[1]
2(|||) = 22(||) = 4(||) = 44(|) = 256(|) = 256256=3231700607…9596230656.(617자리 수)이다.
[2]
단, 엄밀하게는 Matt Hudelson의 확장 표기라고 보아야 한다. 원래의 표기법에서는 삼각형, 사각형, 원밖에 사용하지 않았으며, 각각 이 문서에서의 |, <, △과 같다.
[3]
참고로 구골플렉스는 10↑↑3보다는 크지만 10↑↑4 보다는 작다.
[4]
사실 눈치만 빠르면 마지막 자릿수만큼은 이런 분야에 관심만 어느 정도 있어도 알기 쉽다. 물론 이미 눈치챘을 수도 있겠지만...
큰 수와 관련된 분야의 사람들은
그레이엄 수까지 마지막 500자리 수를 알아내다못해 그보다도 훨씬 큰 수들의 크기를 비교했다는 것을 생각해보자.