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1. 개요
스웨덴의 물리학자 요한네스 뤼드베리(Johannes Robert Rydberg,1854~1919)는 원소의 스펙트럼 계열 및 주기율을 연구하여 분광학을 개척할때 경험적으로 완성 및 사용한 1888년의 뤼드베리 공식(Rydberg formula)으로 유명하다. 1913년 닐스 보어(Niels Bohr)가 이를 사용해서 원시적인 형태의 양자역학을 이론적으로 발전시킬때 다루는 기초로 언급하였다. 이 공식을 방정식으로 해서 일반화해 다루다 보면 수소 스펙트럼 계열의 파장을 계산하는데 사용할수있다. 뤼드베리 상수로도 잘 알려져 있는데 이는 크게 좀머펠트 미세구조항과 콤프턴 파장항으로 이루어져 있다. 기타 업적으로는 1876년에 뤼드베리(Rydberg)와 슈스터(Schuster, A.)가 제안한 뤼드베리-슈스터 규칙이 있다.1.1. 1890년의 뤼드베리 공식
[math( \dfrac{n}{N_0} = \dfrac{1}{(m_1+\mu_1)^2}-\dfrac{1}{(m_2+\mu_2)^2} )][1][2]2. 뤼드베리 공식과 뤼드베리 상수
뤼드베리 상수는 물리학에서 수소와 알카리성 금속(Li,Na,K등)을 포함하는 금속원소들(Mg,Ca,Zn,Cd,Hg등)의 스펙트럼 계열식에서 보여지는 보편 상수이다.보어가 수소원자모델로 제안한 보어의 원자모형(보어 모델)에서 전자 에너지 값
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{r_n} \right) )] -(1)
역시 보어가 수소원자모델로 제안한 보어 모델에서 전자의 궤도반지름(궤도 껍질,n)을 나타내는 보어반지름 [math( (r_{n}) )]
[math( r_{n} = \dfrac{(n\hbar)^2}{kq_{1}q_{2} m_{e}} )] -(2)
(1)에 (2)를 대입하면
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2} }{\dfrac{(n\hbar)^2}{kq_{1}q_{2} m_{e}} } \right) )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{kq_{1}q_{2} kq_{1}q_{2} m_{e} }{(n\hbar)^2} \right) )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{n\hbar}\right)^2 m_{e} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{n\hbar}\right)^2 m_{e}\dfrac{c^2}{c^2} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 m_{e}\dfrac{c^2}{n^2} )]
[math( E = \dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} )]-(3)
콤프턴 파장(Compton wavelength) [math( \Delta \lambda =\lambda '-\lambda )]으로부터
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = E )]이므로
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = E' - E )] - (4) 보어의 양자궤도 조건을 얻을수있다.
(3)을 (4)에 대입하면
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} \right)' - \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{n^2} \right) )]
[math( \dfrac{ch}{\lambda} = \left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 {m_{e}c^2} \right) \left( \dfrac{1}{n'^{2}} - \dfrac{1}{n^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\dfrac{\left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 {m_{e}c^2} \right)}{ch} \left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{2\pi}{2\pi}\dfrac{1}{2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{2\pi2} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 2\pi}{ch} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
[math( \dfrac{1}{\lambda} =\left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right)\left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]
뤼드베리 공식(Rydberg formula,역파장함수) [math( \dfrac{1}{\lambda} = R \left( \dfrac{1}{n_{1}^{2}} - \dfrac{1}{n_{2}^2} \right) )]을 얻을수있다.
따라서 뤼드베리 상수항(constant term)[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right) )]을 조사할수있다.
2.1. 뤼드베리 상수값 계산
뤼드베리 상수항(Rydberg constant term)[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \left( \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right) \right) )]2.1.1. 파장항
파장항 [math( \left( \dfrac{m_{e}c^2 }{c\hbar} \right) = \dfrac{1}{\dfrac{c\hbar }{m_{e}c^2}} =\dfrac{1}{W}= 2.589605 \times 10^{12}/m )]환산 콤프턴 파장 [math((W)= \dfrac{c\hbar }{m_{e}c^2} = 3.861592 \times 10^{-13}m )]
2.1.2. 미세구조 항
좀머펠트 미세구조상수(Sommerfeld fine structure constant,기호는 [math({\alpha} )])기본전하량(elementary charge)의 제곱값을 플랑크-콤프턴 상수[math( (\hbar c ) )]로 나눈 값
[math( \dfrac{e^2}{(4\pi\varepsilon_0)\hbar c}= {\alpha} = 7.297352\times 10^{-3} )]
진공에서의 유전율(permittivity of free space,[math({\varepsilon_0})])
[math({\varepsilon_0} = \dfrac{e^2}{2\alpha c h} = \dfrac{1}{c^2\mu_0} )],투자율[math({\mu_0}=\dfrac{1}{4\pi\times 10^{-7}} )]
[math( \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 = \left( \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{\hbar c} \right)^2 )]로 놓으면 [math( \left( k = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} , q_1 = e, q_2 = e \right) )]
[math( \left( \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{\hbar c} \right)^2 =\left( \dfrac{e^2}{4\pi \varepsilon_0}\dfrac{1}{ c \dfrac{h}{2\pi}} \right)^2 =\left( \dfrac{e^2}{2 \varepsilon_0}\dfrac{1}{h c} \right)^2 = \left( \dfrac{e^2}{2 \dfrac{e^2}{2\alpha c h}}\dfrac{1}{h c} \right)^2 = (\alpha)^2 )]
좀머펠트 미세구조상수(Sommerfeld fine structure constant)라는 이름은 보어 원자모형에서 수소 원자 스펙트럼의 미세구조 사이의 간격을 설명하는 데서 유래하지만 다양한 물리적 해석이 존재한다.
2.1.3. 뤼드베리 상수값 계산
뤼드베리 상수항(Rydberg constant term)[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( k \dfrac{q_{1}q_{2}}{c\hbar}\right)^2 \left( \dfrac{c\hbar}{m_{e}c^2 } \right)^{-1} \right) )][math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left(\text{좀머펠트 미세구조항} \right)^2 \left(\text{콤프턴 파장항}\right)^{-1} \right) )]
[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left(7.297352\times 10^{-3} \right)^2 \left(3.861592 \times 10^{-13}m\right)^{-1} \right) )]
[math( R = \left(\dfrac{1}{4\pi} \left( 5.325134621\times 10^{-5} \right) \left( 2.589605 \times 10^{12}/m \right) \right) = 10973729.54 / m )]
3. 뤼드베리-슈스터 규칙
1876년에 뤼드베리(Rydberg)와 슈스터(Schuster, A.)가 제안한 뤼드베리-슈스터 규칙(Rydberg-Schuster rule)은 원자 스펙트럼 계열을 다룰때 주계열의 극한값과 부계열의 극한값 차이는 주계열 첫 줄의 진동수에 맞먹는 값으로 다루어 볼 수 있다는 규칙으로 스펙트럼 계열을 제안하였다.4. 관련문서
[1]
J.R. RYDBERG, RECHERCHES SUR LA CONSTITUTION DES SPECTRES D'EMISSION DES ELEMENTS CHIMIQUES. §71 Formule generale du groupe nebuleux. P136 , 1890
https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015039478303&view=1up&seq=402-Kungl. Svenska vetenskapsakademiens handlingar. n.s. v.23 pt.2 1888-1889
[2]
P335 (english-preliminary notice) Rydberg, J.R. (1890). Philosophical Magazine. 5th series. 29: 331–337.The philosophical magazine. ser.5 v.29 XXXIV "On the structure of the line-spectra of the chemical elements" Docent at the University of Lund
https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015024088331&view=1up&seq=345