뒤에 붙은 0

||<tablebordercolor=#8258fa>1×2=2에서 뒤에 붙은 0은 0개다. 1×2×3×4×5×6×7=5040에서 뒤에 붙은 0은 1개다. 여기서 5와 4사이에 있는 0처럼 중간에 있는 0은 제외한다. 이렇게 해서 1×2×3×...×1990×1991을 했을 때, 뒤에 붙은 0은 몇 개일까? ||

[ 해답 ]

||<tablebordercolor=#552582>진짜로 1991까지 곱하는 것은 너무 엄청난 일이다. 실제로 1×2×3×...×1990×1991=1991! 을 계산해보면 6.595E+5705로 자릿수만 장장 5706인 천문학적인 수가 나온다. 어지간한 계산기로는 범위 초과가 뜨는 엄청난 수. 따라서 간접적인 방법을 통해 개수를 추론하는 게 좋다

일단 한번 뒤에 0이 붙었을 경우 거기에 어떤 자연수가 곱해지더라도 그 자리수는 무조건 0이 된다. 예를 들어 10에서 7을 곱해도 1234를 곱해도 맨 뒤의 일의 자리수는 0이 그대로 유지된다. 즉, 한번 생긴 0은 절대로 사라지지 않기 때문에 생겨나는 0의 개수를 누적하여 생각하면 된다.

어떤 수를 곱했을 때 뒤에 0이 붙는 경우는 10을 곱하는 것이다. 10=2×5 이므로 계산 도중 2와 5가 한번씩 곱해질 때마다 0이 하나씩 늘어난다는 것을 알 수 있다. 그러므로 1991까지의 곱셈에서 2와 5가 몇 번씩 곱해졌는지 알면 뒤에 붙은 0의 개수를 알 수 있고, 이때 2의 곱셈횟수는 말할 것도 없이 5보다 두 배 이상 많기 때문에 5가 몇 번 곱해졌는지만 알면 된다.

1991까지의 5의 배수의 개수는 398개다. 이때 25의 경우 5의 2제곱이기 때문에 두 번 곱해진 것으로 세야하며 마찬가지로 125, 625도 5가 각각 3번 4번씩 곱해진 것이기 때문에 중복해서 계산해야 한다. 1991까지의 25의 배수는 79개, 125의 배수는 15개, 625의 배수는 3개다. 이제 이들의 합을 통해 1991!에서 뒤에 붙은 0의 개수를 알 수 있다.

398 + 79 + 15 + 3 = 495 ||