1. 개요
terminal object끝은 범주론에서 모든 대상을 향하는 고유한 사상이 존재하는 대상을 의미한다. 끝은 시작의 쌍대 개념으로, 범주의 구조적 성질을 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다. 끝은 극한의 특별한 경우로 간주될 수 있으며, 범주의 일반적 성질과 대칭성을 연구하는 데 필수적인 개념이다.
2. 정의
2.1. 끝의 정의
범주 [math(C)]에서 끝(terminal object) [math(T)]은 다음 조건을 만족하는 대상이다:- 임의의 대상 [math(X \in C)]에 대해, [math(X)]에서 [math(T)]로 가는 사상 [math(f : X \to T)]이 유일하게 존재한다.
끝의 정의를 기호로 표현하면 다음과 같다:
[math(\forall X \in C, \exists! f : X \to T)]
[math(\forall X \in C, \exists! f : X \to T)]
2.2. 보편 성질
끝은 다음과 같은 보편 성질을 만족한다:- [math(T)]는 모든 대상에서 자신으로의 유일한 사상을 가지는 "최소의 대상"이다.
- 끝의 존재는 범주 [math(C)]의 구조적 특성을 결정짓는 중요한 요소이다.
3. 예시
3.1. 집합의 범주 [math(Set)]
집합의 범주에서 끝은 단일 원소를 가지는 집합이다. 예를 들어, 집합 [math(T = \{ \star \})]는 끝으로 작동하며, 모든 집합 [math(X)]에서 [math(T)]로의 유일한 함수는 다음과 같이 정의된다:[math(f(x) = \star, \quad \forall x \in X)]
3.2. 위상 공간의 범주 [math(Top)]
위상 공간의 범주에서 끝은 단일 원소를 가지는 위상 공간이다. 이 공간의 위상은 항상 자명하며, 모든 위상 공간 [math(X)]에서 이 공간으로의 유일한 연속 함수가 존재한다:[math(f : X \to \{\star\}) \text{ is continuous})]