1. 개요
사차방정식( 四 次 方 程 式, Quartic equation)은 미지수의 가장 높은 차수가 4인 방정식이다.[math(\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\ )]의 꼴로 나타난다.
자세한 내용은 사차함수 문서를 참고하자.
2. 예시
[math(\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\ 일때 a \ne 0)]이 방정식에서 양변을 [math(x)]의 최고차항의 계수인 [math(a)]로 나눈 다음 [math(\displaystyle x=y- {b \over 4a})]로 취른하우스 정리를 적용하면
[math(y^4 + p{y^2} + qy + r = 0)] 꼴로 차 고차항을 정리할 수 있다.
계속해서
[math(y^4 +p{y}^2= - qy - r )]
한편, [math(( y^2 + p )^2 )]의 완전제곱식을 풀면, [math(y^4 + 2py^2 + p^2 )]이 되므로
[math(y^4+py^2 )]의 나머지인[math( +py^2 + p^2)]를 양변에 더해주어 좌변을 완전제곱식으로 정리한다.
[math( ( y^2 + p )^2 = p{y}^2 -qy + p^2 -r )]이 된다.
이번에는 우변에 미지수 [math(t)]를 제공하고 [math(y)]와 [math(t)]에 대해 정리하면
[math( \left(y^2+p+t \right)^2= \left(p+2t \right)y^2 -qy + \left(p^2+2pt + t^2-r \right))]
우변 이차방정식의 판별식, [math(D = q^2 -4 \left(p+2t\right) \left((p+ t)^2-r \right)=0 )]이되면, 우변은 완전제곱식을 만족한다.
이것은 [math(t)]에 대한 삼차방정식이므로 이것을 풀어 [math(t)]의 3근 [math(t_1 ,t_2,t_3)] 를 구한다음 [math(t_1)]을 대입한다.
[math(D= q^2 -4 (p+2t_1) (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) =0)] 에 의해
[math(\displaystyle {q^2 \over {4 (p+2t_1)}} = (p^2+2pt_1 + t_1 ^2-r) )] 이므로,
[math(\displaystyle \left(y^2+p+t_1 \right)^2= \left(p+2t_1 \right)y^2 -qy + \left( {q^2 \over {4 (p+2t_1)}} \right))]
[math(\displaystyle (y^2 +p+t_1)^2 = (p +2t_1) \left(y- {q \over {2(p+2t_1)}} \right)^2)]이다.
이렇게, 좌변과 우변 모두 완전제곱식이 되고 두 개의 완전제곱식은 이차방정식으로 정리될수있다.
양변에 제곱근을 주고, 이항시켜 정리하면
[math(\displaystyle \sqrt{(y^2 +p+t_1)^2} =\sqrt{ (p +2t_1) \left(y- {q \over {2(p+2t_1)}} \right)^2 })]
[math(\displaystyle y^2 +p+t_1=\sqrt{ (p +2t_1) } \left(y- {q \over {2(p+2t_1)}} \right))]
[math(\displaystyle y^2 +p+t_1= \left(\sqrt{ (p +2t_1) } y- \sqrt{ (p +2t_1) } {q \over {2(p+2t_1)}} \right))]
[math(\displaystyle y^2 +p+t_1= \sqrt{ (p +2t_1) } y- \left( \sqrt{ (p +2t_1) } {q \over {2\left(\sqrt{ (p +2t_1) } \cdot \sqrt{ (p +2t_1) }\right)}} \right))]
[math(\displaystyle y^2 - \sqrt{p +2t_1} y +\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}} } +p+t_1\right)=0)]
근의 공식으로부터 [math(\displaystyle y = {{\sqrt{p +2t_1} \pm \sqrt{ {\left(-\sqrt{p+2t_1} \right)^2} -4\left( {q \over {2 \sqrt{p +2t_1}}} +p+t_1 \right)} } \over {2} })]
그리고, [math(\displaystyle x= y-{b \over 4a})] 이므로
4근은
[math( x = )]
[math(\displaystyle -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2} } \right) , )]
[math(\displaystyle -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2} } \right) , )]
[math(\displaystyle -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2} } \right) , )]
[math(\displaystyle -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1} -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}} } \over {2} } \right) )]
를 조사할수있다.[출처]
[출처]
(ELEMENTS OF ALGEBRA , EULER, LEONARD, ADDITIONS OF M. DE LA GRANGE Publication date 1822 (3RD EDITION) West Bengal Public Library Publisher GEORGE ROUTLE, LONDON Collection digitallibraryindia; JaiGyan Language English Source: West Bengal Public Library Network Source Identifier: handle/10689/15977) - SECTION IV CHAPTER XIV(310pf632)
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