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최근 수정 시각 : 2024-11-21 21:43:48

다음을 만족하는 삼각형은 모두 몇 개인지 구하시오.

1. 개요2. 난이도3. 출제 빈도4. 문제의 특성5. 학생들의 반응6. 해설 및 접근성7. 문제 해결 포기율8. 참고 사항9. 문제의 유명세10. 해결 방법11. 결론12. 문제13. 해설14. 정답
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1. 개요

2015 개정 교육과정 중학교 1학년 2학기 2단원: 작도와 합동
이 문제는 2015 개정 교육과정의 중학교 1학년 2학기 "작도와 합동" 단원에서 등장할 수 있는 고난도 문제 유형 중 하나로, 중학교 1학년 수준에서 학습한 여러 개념을 종합적으로 활용해야 해결할 수 있는 문제이다. 흔히 "킬러 문제"로 불리며, 내신 시험에서는 보기 드문 유형이지만, 상위권 중학교나 심화 문제집에서 유사한 문제가 종종 등장한다.

2. 난이도

체감 난이도
대부분의 중학교 1학년 학생들에게는 지나치게 어렵게 느껴질 수 있다. 특히 삼각형의 성립 조건, 이등변삼각형의 성질, 방정식 활용, 그리고 논리적 추론까지 요구하므로, 익숙하지 않은 학생들은 문제를 마주했을 때 당황하거나 문제 접근 자체를 어려워한다.

3. 출제 빈도

내신 시험에서 일반적으로 출제되지는 않으나, 특정 상위권 학교나 심화 학습 교재에서 동일하거나 유사한 유형으로 출제되는 경우가 있다.

4. 문제의 특성

이 문제는 문제의 구조가 단순히 숫자가 고정되는 경우가 많아, 숫자가 변화 없이 동일한 형태로 여러 문제집과 플랫폼에 등장하는 특징이 있다. Mocia, 콴다 등이 정답과 간략한 해설을 자동으로 제공할 정도로 정형화된 형태를 보인다.

5. 학생들의 반응

문제 풀이 과정에서의 어려움
대부분의 학생들은 문제 풀이를 시도하다가 논리적인 추론 단계에서 막히거나, 삼각형 성립 조건에서 길이가 같은 두 변과 길이가 다른 한 변 중 무엇이 더 커야 하는지에 대한 개념을 혼동하여 풀이에 실패하는 경우가 많다.

6. 해설 및 접근성

문제집에 제공된 해설이 간략하거나 생략되어 있는 경우가 많아, 이를 통해 문제를 이해하는 데 어려움을 겪는 학생들이 많다.
일부 학생들은 풀이 방법을 찾기 위해 콴다와 같은 플랫폼을 활용하기도 하나, 이 역시 명확한 해설이 제공되지 않는 경우가 많다.

7. 문제 해결 포기율

문제 해결 방법을 정확히 숙지하지 않은 학생들은 개념을 충분히 이해했더라도 문제를 해결하기 어려워하는 경우가 많다. 결과적으로 이 문제를 포기하는 학생들이 적지 않다.

8. 참고 사항

문제의 학습 활용
이 문제는 개념 학습을 넘어, 문제 풀이에서의 논리적 사고와 종합적인 수학적 추론을 평가하기 위한 목적으로 출제된다. 따라서 이 문제를 학습할 때는 단계적인 접근 방법을 익히고, 삼각형 성립 조건과 방정식 풀이 방법을 충분히 연습하는 것이 중요하다.

9. 문제의 유명세

이 문제는 그 정형화된 특성과 출제 방식으로 인해 심화 학습 교재, 온라인 플랫폼(콴다, 비상 수학 등)에서 사용한다. 특히, 숫자가 거의 변동 없이 그대로 활용된다는 점에서 독특한 사례로 평가받고 있다.

10. 해결 방법

문제를 제대로 해결하기 위해서는 상세하고 단계적인 해설이 필수적이다. 학생들이 포기하지 않고 학습할 수 있도록 명확한 풀이와 각 단계별 설명을 제공하는 것이 중요하다.

11. 결론

이 문제는 학생들에게 논리적 사고와 개념의 통합적 활용을 요구하는 도전적인 문제이다. 그러나 지나치게 어려운 난이도와 정형화된 특성으로 인해 일반적인 중학교 1학년 학생들에게는 부담스러울 수 있는 문제이다. 문제를 학습에 활용할 때는 상세한 풀이 과정을 제공하고, 충분한 개념 설명과 함께 연습할 수 있는 쉬운 문제를 병행하는 것이 필요하다.

12. 문제

다음을 만족시키는 삼각형은 모두 몇 개인지 구하시오.

㈎ 세 변의 길이는 모두 자연수이다.
㈏ 삼각형의 둘레의 길이는 21cm이다.
㈐ 두 변의 길이는 같고 나머지 한 변의 길이는 다르다.

13. 해설

해설:
① 문제의 조건을 정리합시다.
⑴ 세 변의 길이는 모두 자연수입니다.
⑵ 삼각형의 둘레의 길이는 21cm입니다. 즉, a+b+c=21입니다.
⑶ 두 변의 길이는 같고 나머지 한 변의 길이는 다릅니다. 즉, 이등변삼각형입니다.
② 미지수의 값을 설정합시다.
⑴ 이등변삼각형은 두 변이 같은 이등변삼각형의 성질이 있으므로 이를 사용하여
길이가 같은 두 변 a, b를 a, 길이가 다른 나머지 한 변 c를 b로 설정합니다.
따라서 세 변의 길이는 a, a, b입니다.
③ 둘레의 조건을 대입합시다.
⑴ 둘레가 21이므로 a+a+b=21입니다.
⑵ 식을 간소화하자면 2a+b=21입니다.
⑶ 2a를 이항하자면 b=21-2a입니다.
④ 삼각형의 성립 조건을 대입합시다.
⑴ 삼각형이 성립하려면 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 하므로 다음 조건을 만족해야 합니다.:
a+a>b → 2a>b
a+b>a → b>0
b+a>a → 항상 참
⑵ 식을 정리하자면 다음과 같습니다.:
2a>b
b>0
⑤ b=21−2a를 대입합시다.
⑴ 조건에 b=21−2a를 대입하자면 다음과 같습니다:
2a>21−2a
-2a를 이항하자면 4a>21
양변을 4로 나누자면 a>5.25
따라서 a≥6(자연수 조건)
그리고
21-2a>0
-2a를 이항하자면 21>2a
양변의 위치를 교체하며 양변을 2로 나누자면 a<10.5
따라서 a≤10(자연수 조건)
결론적으로 6≤a≤10입니다.


⑥ 가능한 a 값에 따른 b를 계산합시다.
⑴ a=6: b=21-2(6)=9 세 변: 6, 6, 9 → 삼각형 성립 가능
⑵ a=7: b=21-2(7)=7 세 변: 7, 7, 7 → 문제 조건 미충족
⑶ a=8: b=21-2(8)=5 세 변: 8, 8, 5 → 삼각형 성립 가능
⑷ a=9: b=21-2(9)=3 세 변: 9, 9, 3 → 삼각형 성립 가능
⑸ a=10: b=21-2(10)=1 세 변: 10, 10, 1 → 삼각형 성립 가능

14. 정답

정답: 다음을 만족시키는 삼각형은 모두 4개입니다.
6 6 9, 8 8 5, 9 9 3, 10 10 1입니다.

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